Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1subrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1subrg 19615
 Description: Univariate polynomials form a subring of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
ply1bas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1subrg (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem ply1subrg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2651 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1𝑅)
5 ply1bas.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 19613 . . 3 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7 1on 7612 . . . 4 1𝑜 ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mplsubrg 19488 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubRing‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2652 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
124psr1val 19604 . . . 4 𝑆 = ((1𝑜 ordPwSer 𝑅)‘∅)
13 0ss 4005 . . . . 5 ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜))
151, 12, 14opsrbas 19527 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
161, 12, 14opsrplusg 19528 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑆))
1716oveqdr 6714 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
181, 12, 14opsrmulr 19529 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (.r‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑆))
1918oveqdr 6714 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r𝑆)𝑦))
2011, 15, 17, 19subrgpropd 18862 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (SubRing‘𝑆))
2110, 20eleqtrd 2732 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   × cxp 5141  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Ringcrg 18593  SubRingcsubrg 18824   mPwSer cmps 19399   mPoly cmpl 19401  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600 This theorem is referenced by:  ply1crng  19616  ply1assa  19617  ply1ring  19666
 Copyright terms: Public domain W3C validator