Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1remlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1remlem 24113
 Description: A term of the form 𝑥 − 𝑁 is linear, monic, and has exactly one zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rem.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1rem.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1rem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
ply1rem.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1rem.m = (-g𝑃)
ply1rem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1rem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
ply1rem.o 𝑂 = (eval1𝑅)
ply1rem.1 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
ply1rem.2 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
ply1rem.3 (𝜑𝑁𝐾)
ply1rem.u 𝑈 = (Monic1p𝑅)
ply1rem.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
ply1rem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1remlem (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))

Proof of Theorem ply1remlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1rem.g . . . 4 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑁))
2 ply1rem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
3 nzrring 19455 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 ply1rem.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
65ply1ring 19812 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
74, 6syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
8 ringgrp 18744 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Grp)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 ply1rem.x . . . . . . 7 𝑋 = (var1𝑅)
11 ply1rem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
1210, 5, 11vr1cl 19781 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
14 ply1rem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
15 ply1rem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
165, 14, 15, 11ply1sclf 19849 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴:𝐾𝐵)
174, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝐾𝐵)
18 ply1rem.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐾)
1917, 18ffvelrnd 6515 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ 𝐵)
20 ply1rem.m . . . . . 6 = (-g𝑃)
2111, 20grpsubcl 17688 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
229, 13, 19, 21syl3anc 1473 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵)
231, 22syl5eqel 2835 . . 3 (𝜑𝐺𝐵)
241fveq2i 6347 . . . . . . 7 (𝐷𝐺) = (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
25 ply1rem.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
2625, 5, 11deg1xrcl 24033 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
2719, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ*)
28 0xr 10270 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
30 1re 10223 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
31 rexr 10269 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ*)
3230, 31mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
3325, 5, 15, 14deg1sclle 24063 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
344, 18, 33syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) ≤ 0)
35 0lt1 10734 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 1)
3727, 29, 32, 34, 36xrlelttrd 12176 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < 1)
38 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
3938, 11mgpbas 18687 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
40 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
4139, 40mulg1 17741 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
4342fveq2d 6348 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝐷𝑋))
44 1nn0 11492 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
4525, 5, 10, 38, 40deg1pw 24071 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
462, 44, 45sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷‘(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 1)
4743, 46eqtr3d 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷𝑋) = 1)
4837, 47breqtrrd 4824 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷‘(𝐴𝑁)) < (𝐷𝑋))
495, 25, 4, 11, 20, 13, 19, 48deg1sub 24059 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷‘(𝑋 (𝐴𝑁))) = (𝐷𝑋))
5024, 49syl5eq 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) = (𝐷𝑋))
5150, 47eqtrd 2786 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
5251, 44syl6eqel 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
53 eqid 2752 . . . . . 6 (0g𝑃) = (0g𝑃)
5425, 5, 53, 11deg1nn0clb 24041 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
554, 23, 54syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ≠ (0g𝑃) ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
5652, 55mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐺 ≠ (0g𝑃))
5751fveq2d 6348 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = ((coe1𝐺)‘1))
581fveq2i 6347 . . . . . 6 (coe1𝐺) = (coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
5958fveq1i 6345 . . . . 5 ((coe1𝐺)‘1) = ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1)
6044a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
61 eqid 2752 . . . . . . 7 (-g𝑅) = (-g𝑅)
625, 11, 20, 61coe1subfv 19830 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐴𝑁) ∈ 𝐵) ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
634, 13, 19, 60, 62syl31anc 1476 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6459, 63syl5eq 2798 . . . 4 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘1) = (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)))
6542oveq2d 6821 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋))
665ply1sca 19817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
672, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6867fveq2d 6348 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
6968oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)𝑋) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋))
705ply1lmod 19816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
714, 70syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
72 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
73 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
74 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
7511, 72, 73, 74lmodvs1 19085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7671, 13, 75syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠𝑃)𝑋) = 𝑋)
7765, 69, 763eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 𝑋)
7877fveq2d 6348 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1𝑋))
7978fveq1d 6346 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1𝑋)‘1))
80 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
8115, 80ringidcl 18760 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
824, 81syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
83 ply1rem.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
8483, 15, 5, 10, 73, 38, 40coe1tmfv1 19838 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
854, 82, 60, 84syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘((1r𝑅)( ·𝑠𝑃)(1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = (1r𝑅))
8679, 85eqtr3d 2788 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝑋)‘1) = (1r𝑅))
87 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
885, 14, 15, 87coe1scl 19851 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝐾) → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
894, 18, 88syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (coe1‘(𝐴𝑁)) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))))
9089fveq1d 6346 . . . . . . 7 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1))
91 ax-1ne0 10189 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
92 neeq1 2986 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑥 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
9391, 92mpbiri 248 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → 𝑥 ≠ 0)
94 ifnefalse 4234 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ 0 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)) = (0g𝑅))
96 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅))) = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))
97 fvex 6354 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
9895, 96, 97fvmpt 6436 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅))
9944, 98ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, 𝑁, (0g𝑅)))‘1) = (0g𝑅)
10090, 99syl6eq 2802 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1‘(𝐴𝑁))‘1) = (0g𝑅))
10186, 100oveq12d 6823 . . . . 5 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)))
102 ringgrp 18744 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1034, 102syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
10415, 87, 61grpsubid1 17693 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐾) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
105103, 82, 104syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((1r𝑅)(-g𝑅)(0g𝑅)) = (1r𝑅))
106101, 105eqtrd 2786 . . . 4 (𝜑 → (((coe1𝑋)‘1)(-g𝑅)((coe1‘(𝐴𝑁))‘1)) = (1r𝑅))
10757, 64, 1063eqtrd 2790 . . 3 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅))
108 ply1rem.u . . . 4 𝑈 = (Monic1p𝑅)
1095, 11, 53, 25, 108, 80ismon1p 24093 . . 3 (𝐺𝑈 ↔ (𝐺𝐵𝐺 ≠ (0g𝑃) ∧ ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) = (1r𝑅)))
11023, 56, 107, 109syl3anbrc 1426 . 2 (𝜑𝐺𝑈)
1111fveq2i 6347 . . . . . . . . . 10 (𝑂𝐺) = (𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))
112111fveq1i 6345 . . . . . . . . 9 ((𝑂𝐺)‘𝑥) = ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥)
113 ply1rem.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (eval1𝑅)
114 ply1rem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
115114adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ CRing)
116 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑥𝐾)
117113, 10, 15, 5, 11, 115, 116evl1vard 19895 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑋)‘𝑥) = 𝑥))
11818adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑁𝐾)
119113, 5, 15, 14, 11, 115, 118, 116evl1scad 19893 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝐴𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝐴𝑁))‘𝑥) = 𝑁))
120113, 5, 15, 11, 115, 116, 117, 119, 20, 61evl1subd 19900 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑋 (𝐴𝑁)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁)))
121120simprd 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂‘(𝑋 (𝐴𝑁)))‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
122112, 121syl5eq 2798 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑂𝐺)‘𝑥) = (𝑥(-g𝑅)𝑁))
123122eqeq1d 2754 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0 ))
124103adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐾) → 𝑅 ∈ Grp)
12515, 83, 61grpsubeq0 17694 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐾𝑁𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
126124, 116, 118, 125syl3anc 1473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐾) → ((𝑥(-g𝑅)𝑁) = 0𝑥 = 𝑁))
127123, 126bitrd 268 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 = 𝑁))
128 velsn 4329 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ 𝑥 = 𝑁)
129127, 128syl6bbr 278 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐾) → (((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0𝑥 ∈ {𝑁}))
130129pm5.32da 676 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 ) ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
131 eqid 2752 . . . . . . 7 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
132 eqid 2752 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
133 fvex 6354 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
13415, 133eqeltri 2827 . . . . . . . 8 𝐾 ∈ V
135134a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
136113, 5, 131, 15evl1rhm 19890 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
137114, 136syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
13811, 132rhmf 18920 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
139137, 138syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
140139, 23ffvelrnd 6515 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐺) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
141131, 15, 132, 2, 135, 140pwselbas 16343 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑂𝐺):𝐾𝐾)
142 ffn 6198 . . . . . 6 ((𝑂𝐺):𝐾𝐾 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
143141, 142syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐺) Fn 𝐾)
144 fniniseg 6493 . . . . 5 ((𝑂𝐺) Fn 𝐾 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
145143, 144syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ (𝑥𝐾 ∧ ((𝑂𝐺)‘𝑥) = 0 )))
14618snssd 4477 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑁} ⊆ 𝐾)
147146sseld 3735 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} → 𝑥𝐾))
148147pm4.71rd 670 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑁} ↔ (𝑥𝐾𝑥 ∈ {𝑁})))
149130, 145, 1483bitr4d 300 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) ↔ 𝑥 ∈ {𝑁}))
150149eqrdv 2750 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁})
151110, 51, 1503jca 1122 1 (𝜑 → (𝐺𝑈 ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ { 0 }) = {𝑁}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  Vcvv 3332  ifcif 4222  {csn 4313   class class class wbr 4796   ↦ cmpt 4873  ◡ccnv 5257   “ cima 5261   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805  ℝcr 10119  0cc0 10120  1c1 10121  ℝ*cxr 10257   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℕ0cn0 11476  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  0gc0g 16294   ↑s cpws 16301  Grpcgrp 17615  -gcsg 17617  .gcmg 17733  mulGrpcmgp 18681  1rcur 18693  Ringcrg 18739  CRingccrg 18740   RingHom crh 18906  LModclmod 19057  NzRingcnzr 19451  algSccascl 19505  var1cv1 19740  Poly1cpl1 19741  coe1cco1 19742  eval1ce1 19873   deg1 cdg1 24005  Monic1pcmn1 24076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-ofr 7055  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-hash 13304  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-prds 16302  df-pws 16304  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-mhm 17528  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-ghm 17851  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-srg 18698  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-rnghom 18909  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-nzr 19452  df-rlreg 19477  df-assa 19506  df-asp 19507  df-ascl 19508  df-psr 19550  df-mvr 19551  df-mpl 19552  df-opsr 19554  df-evls 19700  df-evl 19701  df-psr1 19744  df-vr1 19745  df-ply1 19746  df-coe1 19747  df-evl1 19875  df-cnfld 19941  df-mdeg 24006  df-deg1 24007  df-mon1 24081 This theorem is referenced by:  ply1rem  24114  facth1  24115  fta1glem1  24116  fta1glem2  24117
 Copyright terms: Public domain W3C validator