Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1plusg 19643
 Description: Value of addition in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y 𝑌 = (Poly1𝑅)
ply1plusg.s 𝑆 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
ply1plusg.p + = (+g𝑌)
Assertion
Ref Expression
ply1plusg + = (+g𝑆)

Proof of Theorem ply1plusg
StepHypRef Expression
1 ply1plusg.p . 2 + = (+g𝑌)
2 ply1plusg.s . . . 4 𝑆 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3 eqid 2651 . . . 4 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
4 eqid 2651 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
52, 3, 4mplplusg 19638 . . 3 (+g𝑆) = (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))
6 eqid 2651 . . . 4 (PwSer1𝑅) = (PwSer1𝑅)
7 eqid 2651 . . . 4 (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g‘(PwSer1𝑅))
86, 3, 7psr1plusg 19640 . . 3 (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))
9 fvex 6239 . . . 4 (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ V
10 ply1plusg.y . . . . . 6 𝑌 = (Poly1𝑅)
1110, 6ply1val 19612 . . . . 5 𝑌 = ((PwSer1𝑅) ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
1211, 7ressplusg 16040 . . . 4 ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ∈ V → (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g𝑌))
139, 12ax-mp 5 . . 3 (+g‘(PwSer1𝑅)) = (+g𝑌)
145, 8, 133eqtr2i 2679 . 2 (+g𝑆) = (+g𝑌)
151, 14eqtr4i 2676 1 + = (+g𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  Basecbs 15904  +gcplusg 15988   mPwSer cmps 19399   mPoly cmpl 19401  PwSer1cps1 19593  Poly1cpl1 19595 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-ple 16008  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600 This theorem is referenced by:  ressply1add  19648  subrgply1  19651  ply1plusgfvi  19660  ply1plusgpropd  19662  ply1mpl0  19673  coe1add  19682  ply1coe  19714  evls1rhm  19735  evl1rhm  19744  deg1addle  23906
 Copyright terms: Public domain W3C validator