MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1nz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1nz 24101
Description: Univariate polynomials over a nonzero ring are a nonzero ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1domn.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1nz (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ply1nz
StepHypRef Expression
1 nzrring 19484 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 ply1domn.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1ring 19841 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ Ring)
5 eqid 2761 . . . . . 6 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
6 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
82, 5, 6, 7ply1sclf 19878 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
91, 8syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (algSc‘𝑃):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑃))
10 eqid 2761 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
116, 10ringidcl 18789 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
121, 11syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
139, 12ffvelrnd 6525 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃))
14 eqid 2761 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1510, 14nzrnz 19483 . . . 4 (𝑅 ∈ NzRing → (1r𝑅) ≠ (0g𝑅))
16 eqid 2761 . . . . 5 (0g𝑃) = (0g𝑃)
172, 5, 14, 16, 6ply1scln0 19884 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r𝑅) ≠ (0g𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃))
181, 12, 15, 17syl3anc 1477 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃))
19 eldifsn 4463 . . 3 (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}) ↔ (((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ≠ (0g𝑃)))
2013, 18, 19sylanbrc 701 . 2 (𝑅 ∈ NzRing → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)}))
2116, 7ringelnzr 19489 . 2 ((𝑃 ∈ Ring ∧ ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ ((Base‘𝑃) ∖ {(0g𝑃)})) → 𝑃 ∈ NzRing)
224, 20, 21syl2anc 696 1 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑃 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cdif 3713  {csn 4322  wf 6046  cfv 6050  Basecbs 16080  0gc0g 16323  1rcur 18722  Ringcrg 18768  NzRingcnzr 19480  algSccascl 19534  Poly1cpl1 19770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-ple 16184  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-nzr 19481  df-ascl 19537  df-psr 19579  df-mvr 19580  df-mpl 19581  df-opsr 19583  df-psr1 19773  df-vr1 19774  df-ply1 19775  df-coe1 19776
This theorem is referenced by:  ply1nzb  24102  ply1domn  24103  mon1pid  38304  mon1psubm  38305
  Copyright terms: Public domain W3C validator