Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsum 42707
Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mulgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1𝐾)
ply1mulgsum.c 𝐶 = (coe1𝐿)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1mulgsum.pm × = (.r𝑃)
ply1mulgsum.sm · = ( ·𝑠𝑃)
ply1mulgsum.rm = (.r𝑅)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum
Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1mulgsum.pm . . . . . . 7 × = (.r𝑃)
3 ply1mulgsum.rm . . . . . . 7 = (.r𝑅)
4 ply1mulgsum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4coe1mul 19863 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
65adantr 472 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
76fveq1d 6356 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛))
8 eqidd 2762 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
9 oveq2 6823 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10 oveq1 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑖) = (𝑛𝑖))
1110fveq2d 6358 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
1211oveq2d 6831 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
139, 12mpteq12dv 4886 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
1413oveq2d 6831 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
1514adantl 473 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
16 simpr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17 ovexd 6845 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) ∈ V)
188, 15, 16, 17fvmptd 6452 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
19 ply1mulgsum.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
20 ply1mulgsum.e . . . . . . 7 = (.g𝑀)
21 ply1mulgsum.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
2221fveq2i 6357 . . . . . . 7 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
2320, 22eqtri 2783 . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
24 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2524adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
26 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27 ply1mulgsum.sm . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑃)
28 eqid 2761 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
29 ringcmn 18802 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
30293ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
3130ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
32 fzfid 12987 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
33 simpll1 1255 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
3433adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
35 simp2 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐾𝐵)
3635ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
37 elfznn0 12647 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
38 ply1mulgsum.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coe1𝐾)
3938, 4, 1, 26coe1fvalcl 19805 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐵𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
4036, 37, 39syl2an 495 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
41 simp3 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐿𝐵)
4241ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
43 fznn0sub 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑙) ∈ ℕ0)
44 ply1mulgsum.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (coe1𝐿)
4544, 4, 1, 26coe1fvalcl 19805 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿𝐵 ∧ (𝑘𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4642, 43, 45syl2an 495 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4726, 3ringcl 18782 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4834, 40, 46, 47syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4948ralrimiva 3105 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
5026, 31, 32, 49gsummptcl 18587 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
5150ralrimiva 3105 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
521, 4, 38, 44, 19, 2, 27, 3, 21, 20ply1mulgsumlem3 42705 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
5352adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
541, 4, 19, 23, 25, 26, 27, 28, 51, 53, 16gsummoncoe1 19897 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
55 vex 3344 . . . . . 6 𝑛 ∈ V
56 csbov2g 6856 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
57 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
58 oveq2 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
59 oveq1 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝑙) = (𝑛𝑙))
6059fveq2d 6358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑙)))
6160oveq2d 6831 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) = ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))
6258, 61mpteq12dv 4886 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6362adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6457, 63csbied 3702 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6564oveq2d 6831 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6656, 65eqtrd 2795 . . . . . 6 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6755, 66mp1i 13 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
68 fveq2 6354 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = (𝐴𝑖))
6938fveq1i 6355 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑖) = ((coe1𝐾)‘𝑖)
7068, 69syl6eq 2811 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = ((coe1𝐾)‘𝑖))
71 oveq2 6823 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → (𝑛𝑙) = (𝑛𝑖))
7271fveq2d 6358 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑖)))
7344fveq1i 6355 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑛𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))
7472, 73syl6eq 2811 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
7570, 74oveq12d 6833 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7675cbvmptv 4903 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7776a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
7877oveq2d 6831 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
7954, 67, 783eqtrrd 2800 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
807, 18, 793eqtrd 2799 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
8180ralrimiva 3105 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
821ply1ring 19841 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
834, 2ringcl 18782 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
8482, 83syl3an1 1167 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
85 eqid 2761 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
86 ringcmn 18802 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
8782, 86syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
88873ad2ant1 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
89 nn0ex 11511 . . . . 5 0 ∈ V
9089a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ℕ0 ∈ V)
911ply1lmod 19845 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
92913ad2ant1 1128 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
9392adantr 472 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
9430adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
95 fzfid 12987 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
96 simpll1 1255 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
9735adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
9897, 37, 39syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
9941adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
10099, 43, 45syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
10196, 98, 100, 47syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
102101ralrimiva 3105 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10326, 94, 95, 102gsummptcl 18587 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
10424adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
1051ply1sca 19846 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
106104, 105syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
107106fveq2d 6358 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
108103, 107eleqtrd 2842 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10921ringmgp 18774 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
11082, 109syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1111103ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
112111adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
113 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11419, 1, 4vr1cl 19810 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
1151143ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑋𝐵)
116115adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
11721, 4mgpbas 18716 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
118117, 20mulgnn0cl 17780 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
119112, 113, 116, 118syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
120 eqid 2761 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
121 eqid 2761 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
1224, 120, 27, 121lmodvscl 19103 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
12393, 108, 119, 122syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
124 eqid 2761 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))
125123, 124fmptd 6550 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))):ℕ0𝐵)
1261, 4, 38, 44, 19, 2, 27, 3, 21, 20ply1mulgsumlem4 42706 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
1274, 85, 88, 90, 125, 126gsumcl 18537 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵)
128 eqid 2761 . . . 4 (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
129 eqid 2761 . . . 4 (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
1301, 4, 128, 129ply1coe1eq 19891 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
13124, 84, 127, 130syl3anc 1477 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
13281, 131mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  Vcvv 3341  csb 3675   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815   finSupp cfsupp 8443  0cc0 10149  cmin 10479  0cn0 11505  ...cfz 12540  Basecbs 16080  .rcmulr 16165  Scalarcsca 16167   ·𝑠 cvsca 16168  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  Mndcmnd 17516  .gcmg 17762  CMndccmn 18414  mulGrpcmgp 18710  Ringcrg 18768  LModclmod 19086  var1cv1 19769  Poly1cpl1 19770  coe1cco1 19771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-ofr 7065  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-tset 16183  df-ple 16184  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-srg 18727  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-psr 19579  df-mvr 19580  df-mpl 19581  df-opsr 19583  df-psr1 19773  df-vr1 19774  df-ply1 19775  df-coe1 19776
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator