Theorem ply1mpl1 19841

Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl1.m	⊢ 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
ply1mpl1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl1	⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl1.o	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑃)
2		eqidd 2771	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 19779	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7		ply1mpl1.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
8	7	fveq2i 6335	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9	6, 8	eqtr4i 2795	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
12	3, 7, 11	ply1mulr 19811	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (.r‘𝑃) = (.r‘𝑀))
14	13	oveqdr 6818	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(.r‘𝑃)𝑦) = (𝑥(.r‘𝑀)𝑦))
15	2, 10, 14	rngidpropd 18902	. . 3 ⊢ (⊤ → (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀))
16	15	trud 1640	. 2 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑀)
17	1, 16	eqtri 2792	1 ⊢ 1 = (1r‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 382   = wceq 1630  ⊤wtru 1631   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1_𝑜c1o 7705  Basecbs 16063  ._rcmulr 16149  1_rcur 18708   mPoly cmpl 19567  PwSer₁cps1 19759  Poly₁cpl1 19761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-ple 16168  df-0g 16309  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-psr 19570  df-mpl 19572  df-opsr 19574  df-psr1 19764  df-ply1 19766

This theorem is referenced by:  ply1ascl  19842  ply1nzb  24101