Theorem ply1mpl0 19673

Description: The univariate polynomial ring has the same zero as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mpl0.m	⊢ 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
ply1mpl0.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mpl0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1mpl0	⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Proof of Theorem ply1mpl0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mpl0.z	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
2		eqidd 2652	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃))
3		ply1mpl0.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
5		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	ply1bas 19613	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7		ply1mpl0.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (1𝑜 mPoly 𝑅)
8	7	fveq2i 6232	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
9	6, 8	eqtr4i 2676	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑃) = (Base‘𝑀))
11		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
12	3, 7, 11	ply1plusg 19643	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀)
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (+g‘𝑃) = (+g‘𝑀))
14	13	oveqdr 6714	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))) → (𝑥(+g‘𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
15	2, 10, 14	grpidpropd 17308	. . 3 ⊢ (⊤ → (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀))
16	15	trud 1533	. 2 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑀)
17	1, 16	eqtri 2673	1 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598  Basecbs 15904  +_gcplusg 15988  0_gc0g 16147   mPoly cmpl 19401  PwSer₁cps1 19593  Poly₁cpl1 19595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-ple 16008  df-0g 16149  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600

This theorem is referenced by:  coe1z  19681  ply1coe  19714  deg1z  23892  deg1nn0cl  23893  deg1ldg  23897  ply1nzb  23927