Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1lss 19781
 Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1val.2 𝑆 = (PwSer1𝑅)
ply1bas.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
ply1lss (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))

Proof of Theorem ply1lss
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2771 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3 ply1val.1 . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
4 ply1val.2 . . . 4 𝑆 = (PwSer1𝑅)
5 ply1bas.u . . . 4 𝑈 = (Base‘𝑃)
63, 4, 5ply1bas 19780 . . 3 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
7 1on 7720 . . . 4 1𝑜 ∈ On
87a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 1𝑜 ∈ On)
9 id 22 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
101, 2, 6, 8, 9mpllss 19653 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
11 eqidd 2772 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
124psr1val 19771 . . . 4 𝑆 = ((1𝑜 ordPwSer 𝑅)‘∅)
13 0ss 4116 . . . . 5 ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜)
1413a1i 11 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜))
151, 12, 14opsrbas 19694 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑆))
16 ssv 3774 . . . 4 (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ⊆ V
1716a1i 11 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) ⊆ V)
181, 12, 14opsrplusg 19695 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑆))
1918oveqdr 6819 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑆)𝑦))
20 ovexd 6825 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) ∈ V)
211, 12, 14opsrvsca 19697 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆))
2221oveqdr 6819 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦))
231, 8, 9psrsca 19604 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)))
2423fveq2d 6336 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))))
251, 12, 14, 8, 9opsrsca 19698 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
2625fveq2d 6336 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
2711, 15, 17, 19, 20, 22, 24, 26lsspropd 19230 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (LSubSp‘(1𝑜 mPwSer 𝑅)) = (LSubSp‘𝑆))
2810, 27eleqtrd 2852 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   × cxp 5247  Oncon0 5866  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  Ringcrg 18755  LSubSpclss 19142   mPwSer cmps 19566   mPoly cmpl 19568  PwSer1cps1 19760  Poly1cpl1 19762 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-lss 19143  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767 This theorem is referenced by:  ply1assa  19784  ply1lmod  19837
 Copyright terms: Public domain W3C validator