Theorem ply1bas 19767

Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1val.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1val.2	⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
ply1bas.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1bas	⊢ 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1bas.u	. 2 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1𝑜 mPwSer 𝑅) = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
5		ply1val.2	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PwSer1‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7	5, 6, 3	psr1bas2 19762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(1𝑜 mPwSer 𝑅))
8	2, 3, 4, 7	mplbasss 19634	. . 3 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆)
9		ply1val.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
10	9, 5	ply1val 19766	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
11	10, 6	ressbas2 16133	. . 3 ⊢ ((Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) ⊆ (Base‘𝑆) → (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃))
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Base‘𝑃)
13	1, 12	eqtr4i 2785	1 ⊢ 𝑈 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝑅))

Syntax hints:   = wceq 1632   ⊆ wss 3715  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  1_𝑜c1o 7722  Basecbs 16059   mPwSer cmps 19553   mPoly cmpl 19555  PwSer₁cps1 19747  Poly₁cpl1 19749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-dec 11686  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-ple 16163  df-psr 19558  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-psr1 19752  df-ply1 19754

This theorem is referenced by:  ply1lss  19768  ply1subrg  19769  ply1crng  19770  ply1assa  19771  ply1basf  19774  ply1bascl2  19776  vr1cl  19789  ressply1bas2  19800  ressply1add  19802  ressply1mul  19803  ressply1vsca  19804  subrgply1  19805  ply1baspropd  19815  ply1ring  19820  ply1lmod  19824  ply1mpl0  19827  ply1mpl1  19829  subrg1asclcl  19832  subrgvr1cl  19834  coe1add  19836  coe1tm  19845  ply1coe  19868  evls1rhm  19889  evls1sca  19890  evl1rhm  19898  evl1sca  19900  evl1var  19902  evls1var  19904  mpfpf1  19917  pf1mpf  19918  deg1xrf  24040  deg1cl  24042  deg1nn0cl  24047  deg1ldg  24051  deg1leb  24054  deg1val  24055  deg1vscale  24063  deg1vsca  24064  deg1mulle2  24068  deg1le0  24070