Theorem ply1ascl 19676

Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1ascl.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1ascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ply1ascl	⊢ 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))

Proof of Theorem ply1ascl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1ascl.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
2		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
3		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
4		ply1ascl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5	4	ply1sca 19671	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
6	5	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
7		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
8		1on 7612	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 1𝑜 ∈ On)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 ∈ V)
11	7, 9, 10	mplsca 19493	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
12	11	fveq2d 6233	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘(1𝑜 mPoly 𝑅))))
13		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
14	4, 7, 13	ply1vsca 19644	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
16	15	oveqdr 6714	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))𝑦))
17		eqid 2651	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
18	7, 4, 17	ply1mpl1 19675	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) = (1r‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
20		fvexd 6241	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (1r‘𝑃) ∈ V)
21	2, 3, 6, 12, 16, 19, 20	asclpropd 19394	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
22		fvprc 6223	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
23	4, 22	syl5eq 2697	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = ∅)
24		reldmmpl 19475	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mPoly
25	24	ovprc2 6725	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (1𝑜 mPoly 𝑅) = ∅)
26	23, 25	eqtr4d 2688	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → 𝑃 = (1𝑜 mPoly 𝑅))
27	26	fveq2d 6233	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅)))
28	21, 27	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
29	1, 28	eqtri 2673	1 ⊢ 𝐴 = (algSc‘(1𝑜 mPoly 𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  Oncon0 5761  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·_𝑠 cvsca 15992  1_rcur 18547  algSccascl 19359   mPoly cmpl 19401  Poly₁cpl1 19595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-0g 16149  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ascl 19362  df-psr 19404  df-mpl 19406  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-ply1 19600

This theorem is referenced by:  subrg1ascl  19677  subrg1asclcl  19678  evls1sca  19736  evl1sca  19746  pf1ind  19767  deg1le0  23916