Theorem pltne 17134

Description: Less-than relation. (df-pss 3719 analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
pltne.s	⊢ < = (lt‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pltne	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))

Proof of Theorem pltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2748	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		pltne.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3	1, 2	pltval 17132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)))
4	3	simplbda 655	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
5	4	ex 449	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  lecple 16121  ltcplt 17113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045  df-plt 17130

This theorem is referenced by:  pltirr  17135  ogrpaddlt  29998  ornglmullt  30087  orngrmullt  30088  ofldchr  30094  isarchiofld  30097  atlen0  35069  1cvratex  35231  ps-2  35236  lhpn0  35762