MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pltle 17008
Description: Less-than implies less-than-or-equal. (pssss 3735 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l = (le‘𝐾)
pltval.s < = (lt‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pltle ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))

Proof of Theorem pltle
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 pltval.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
31, 2pltval 17007 . . 3 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌𝑋𝑌)))
43simprbda 652 . 2 (((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 𝑌)
54ex 449 1 ((𝐾𝐴𝑋𝐵𝑌𝐶) → (𝑋 < 𝑌𝑋 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  lecple 15995  ltcplt 16988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-plt 17005
This theorem is referenced by:  pleval2  17012  pltnlt  17015  pltn2lp  17016  plttr  17017  pospo  17020  ogrpaddlt  29846  isarchi3  29869  archirngz  29871  archiabllem2a  29876  orngsqr  29932  ornglmullt  29935  orngrmullt  29936  atnlt  34918  cvlcvr1  34944  hlrelat  35006  hlrelat3  35016  cvratlem  35025  atltcvr  35039  atlelt  35042  llnnlt  35127  lplnnle2at  35145  lplnnlt  35169  lvolnle3at  35186  lvolnltN  35222  cdlemblem  35397  cdlemb  35398  lhpexle1  35612
  Copyright terms: Public domain W3C validator