MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjthlem2 23330
Description: Lemma for pjth 23331. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
pjthlem.n 𝑁 = (norm‘𝑊)
pjthlem.p + = (+g𝑊)
pjthlem.m = (-g𝑊)
pjthlem.h , = (·𝑖𝑊)
pjthlem.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pjthlem.1 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
pjthlem.2 (𝜑𝑈𝐿)
pjthlem.4 (𝜑𝐴𝑉)
pjthlem.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
pjthlem.s = (LSSum‘𝑊)
pjthlem.o 𝑂 = (ocv‘𝑊)
pjthlem.3 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
Assertion
Ref Expression
pjthlem2 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 pjthlem.m . . . 4 = (-g𝑊)
3 pjthlem.n . . . 4 𝑁 = (norm‘𝑊)
4 pjthlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ ℂHil)
5 hlcph 23281 . . . . 5 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 pjthlem.2 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐿)
8 pjthlem.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8syl6eleq 2813 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
10 pjthlem.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
11 hlcms 23283 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ CMetSp)
124, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ CMetSp)
131, 8lssss 19060 . . . . . . 7 (𝑈𝐿𝑈𝑉)
147, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
15 eqid 2724 . . . . . . 7 (𝑊s 𝑈) = (𝑊s 𝑈)
16 pjthlem.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
1715, 1, 16cmsss 23268 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ CMetSp ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1812, 14, 17syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp ↔ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1910, 18mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑊s 𝑈) ∈ CMetSp)
20 pjthlem.4 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 23328 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
22 reurex 3263 . . 3 (∃!𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
2321, 22syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
246adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
25 cphlmod 23095 . . . . . 6 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ LMod)
27 lmodabl 19033 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
2826, 27syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Abel)
297adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝐿)
3029, 13syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈𝑉)
31 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑈)
3230, 31sseldd 3710 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑥𝑉)
3320adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴𝑉)
34 pjthlem.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
351, 34, 2ablpncan3 18343 . . . 4 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑥𝑉𝐴𝑉)) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
3628, 32, 33, 35syl12anc 1437 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) = 𝐴)
378lsssssubg 19081 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3826, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
3938, 29sseldd 3710 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
40 cphphl 23092 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ PreHil)
4124, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ PreHil)
42 pjthlem.o . . . . . . 7 𝑂 = (ocv‘𝑊)
431, 42, 8ocvlss 20139 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝑉) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4441, 30, 43syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ 𝐿)
4538, 44sseldd 3710 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
461, 2lmodvsubcl 19031 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝑥𝑉) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
4726, 33, 32, 46syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
48 pjthlem.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
494ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂHil)
5029adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝐿)
5147adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉)
52 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
5326adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
5429adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑈𝐿)
55 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑈)
5631adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑈)
5734, 8lssvacl 19077 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑤𝑈𝑥𝑈)) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1440 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈)
59 simplrr 820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))
60 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝐴 𝑦) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
6160fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → (𝑁‘(𝐴 𝑦)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
6261breq2d 4772 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑤 + 𝑥) → ((𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) ↔ (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
6362rspcv 3409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 + 𝑥) ∈ 𝑈 → (∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥)))))
6458, 59, 63sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
65 lmodgrp 18993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6626, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝑊 ∈ Grp)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑊 ∈ Grp)
6833adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝐴𝑉)
6932adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑥𝑉)
7030sselda 3709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → 𝑤𝑉)
711, 34, 2grpsubsub4 17630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝐴𝑉𝑥𝑉𝑤𝑉)) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1441 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → ((𝐴 𝑥) 𝑤) = (𝐴 (𝑤 + 𝑥)))
7372fveq2d 6308 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)) = (𝑁‘(𝐴 (𝑤 + 𝑥))))
7464, 73breqtrrd 4788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑤𝑈) → (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7574ralrimiva 3068 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
7675adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ∀𝑤𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘((𝐴 𝑥) 𝑤)))
77 eqid 2724 . . . . . . . 8 (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1)) = (((𝐴 𝑥) , 𝑧) / ((𝑧 , 𝑧) + 1))
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 23329 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = 0)
7924adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
80 cphclm 23110 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℂPreHil → 𝑊 ∈ ℂMod)
8179, 80syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ ℂMod)
82 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
8382clm0 22993 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ ℂMod → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8481, 83syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8578, 84eqtrd 2758 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) ∧ 𝑧𝑈) → ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
8685ralrimiva 3068 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
87 eqid 2724 . . . . . 6 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
881, 48, 82, 87, 42elocv 20135 . . . . 5 ((𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈) ↔ (𝑈𝑉 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑧𝑈 ((𝐴 𝑥) , 𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1383 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))
90 pjthlem.s . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
9134, 90lsmelvali 18186 . . . 4 (((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑂𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝑥𝑈 ∧ (𝐴 𝑥) ∈ (𝑂𝑈))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1440 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → (𝑥 + (𝐴 𝑥)) ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9336, 92eqeltrrd 2804 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 (𝑁‘(𝐴 𝑥)) ≤ (𝑁‘(𝐴 𝑦)))) → 𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
9423, 93rexlimddv 3137 1 (𝜑𝐴 ∈ (𝑈 (𝑂𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  wrex 3015  ∃!wreu 3016  wss 3680   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  cle 10188   / cdiv 10797  Basecbs 15980  s cress 15981  +gcplusg 16064  Scalarcsca 16067  ·𝑖cip 16069  TopOpenctopn 16205  0gc0g 16223  Grpcgrp 17544  -gcsg 17546  SubGrpcsubg 17710  LSSumclsm 18170  Abelcabl 18315  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055  PreHilcphl 20092  ocvcocv 20127  Clsdccld 20943  normcnm 22503  ℂModcclm 22983  ℂPreHilccph 23087  CMetSpccms 23250  ℂHilchl 23252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-tpos 7472  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-mhm 17457  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mulg 17663  df-subg 17713  df-ghm 17780  df-cntz 17871  df-lsm 18172  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-cring 18671  df-oppr 18744  df-dvdsr 18762  df-unit 18763  df-invr 18793  df-dvr 18804  df-rnghom 18838  df-drng 18872  df-subrg 18901  df-staf 18968  df-srng 18969  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lmhm 19145  df-lvec 19226  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-phl 20094  df-ocv 20130  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-cmp 21313  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-flim 21865  df-fcls 21867  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-nm 22509  df-ngp 22510  df-nlm 22513  df-cncf 22803  df-clm 22984  df-cph 23089  df-cfil 23174  df-cmet 23176  df-cms 23253  df-bn 23254  df-hl 23255
This theorem is referenced by:  pjth  23331
  Copyright terms: Public domain W3C validator