HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssmii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssmii 28668
Description: Projection meet property. Remark in [Kalmbach] p. 66. Also Theorem 4.5(i)->(iv) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjssmii (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))

Proof of Theorem pjssmii
StepHypRef Expression
1 pjsslem.1 . . . . 5 𝐺C
2 pjidm.1 . . . . . 6 𝐻C
32choccli 28294 . . . . 5 (⊥‘𝐻) ∈ C
41, 3chincli 28447 . . . 4 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
5 pjidm.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
61, 5pjhclii 28409 . . . 4 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
72, 5pjhclii 28409 . . . 4 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
84, 6, 7pjsubii 28665 . . 3 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)))
94, 6pjhclii 28409 . . . . 5 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
104, 7pjhclii 28409 . . . . 5 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
119, 10hvsubvali 28005 . . . 4 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) + (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))))
12 inss1 3866 . . . . . . 7 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ 𝐺
134, 5, 1pjss2i 28667 . . . . . . 7 ((𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
152chshii 28212 . . . . . . . . . . . 12 𝐻S
16 shococss 28281 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻S𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))
18 inss2 3867 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘𝐻)
194, 3chsscon3i 28448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘𝐻) ↔ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
2018, 19mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘(⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
2117, 20sstri 3645 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
222, 5pjclii 28408 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻
2321, 22sselii 3633 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
244, 7pjoc2i 28425 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) ↔ ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 0)
2523, 24mpbi 220 . . . . . . . 8 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 0
2625oveq2i 6701 . . . . . . 7 (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = (-1 · 0)
27 neg1cn 11162 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
28 hvmul0 28009 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1 · 0) = 0)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1 · 0) = 0
3026, 29eqtri 2673 . . . . . 6 (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = 0
3114, 30oveq12i 6702 . . . . 5 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) + (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)))) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) + 0)
324, 5pjhclii 28409 . . . . . 6 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ∈ ℋ
33 ax-hvaddid 27989 . . . . . 6 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ∈ ℋ → (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) + 0) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) + 0) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
3531, 34eqtri 2673 . . . 4 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) + (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
3611, 35eqtri 2673 . . 3 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
378, 36eqtri 2673 . 2 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
381, 5pjclii 28408 . . . . 5 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ 𝐺
39 ssel 3630 . . . . . 6 (𝐻𝐺 → (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 → ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺))
4022, 39mpi 20 . . . . 5 (𝐻𝐺 → ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺)
411chshii 28212 . . . . . 6 𝐺S
42 shsubcl 28205 . . . . . 6 ((𝐺S ∧ ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ 𝐺 ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4341, 42mp3an1 1451 . . . . 5 ((((proj𝐺)‘𝐴) ∈ 𝐺 ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4438, 40, 43sylancr 696 . . . 4 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺)
452, 5, 1pjsslem 28666 . . . . 5 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))
462, 1chsscon3i 28448 . . . . . 6 (𝐻𝐺 ↔ (⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻))
473, 5pjclii 28408 . . . . . . 7 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
481choccli 28294 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝐺) ∈ C
4948, 5pjclii 28408 . . . . . . . 8 ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺)
50 ssel 3630 . . . . . . . 8 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
5149, 50mpi 20 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
523chshii 28212 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐻) ∈ S
53 shsubcl 28205 . . . . . . . 8 (((⊥‘𝐻) ∈ S ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5452, 53mp3an1 1451 . . . . . . 7 ((((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5547, 51, 54sylancr 696 . . . . . 6 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5646, 55sylbi 207 . . . . 5 (𝐻𝐺 → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5745, 56syl5eqelr 2735 . . . 4 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5844, 57jca 553 . . 3 (𝐻𝐺 → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)))
59 elin 3829 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)))
606, 7hvsubcli 28006 . . . . 5 (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
614, 60pjchi 28419 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
6259, 61bitr3i 266 . . 3 (((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)) ↔ ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
6358, 62sylib 208 . 2 (𝐻𝐺 → ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
6437, 63syl5reqr 2700 1 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975  -cneg 10305  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906  0c0v 27909   cmv 27910   S csh 27913   C cch 27914  cort 27915  projcpjh 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382
This theorem is referenced by:  pjcji  28671  pjssmi  29152
  Copyright terms: Public domain W3C validator