HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnormssi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjnormssi 29155
Description: Theorem 4.5(i)<->(vi) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 26-Sep-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1 𝐺C
pjco.2 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjnormssi (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐺

Proof of Theorem pjnormssi
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7 𝐻C
2 pjco.1 . . . . . . 7 𝐺C
31, 2pjssmi 29152 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥)))
41, 2pjssge0i 29153 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) = ((proj‘(𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)))‘𝑥) → 0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
53, 4syld 47 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → 0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥)))
61, 2pjdifnormi 29154 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (0 ≤ ((((proj𝐻)‘𝑥) − ((proj𝐺)‘𝑥)) ·ih 𝑥) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
75, 6sylibd 229 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝐺𝐻 → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
87com12 32 . . 3 (𝐺𝐻 → (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
98ralrimiv 2994 . 2 (𝐺𝐻 → ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
101choccli 28294 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐻) ∈ C
1110cheli 28217 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ ℋ)
12 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0))
1312biimpac 502 . . . . . . . . . . . 12 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∧ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0)
142pjhcli 28405 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ)
15 normge0 28111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))
17 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
20 letri3 10161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)))))
2120biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥))) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2218, 19, 21sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥))) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2316, 22sylan2i 688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
2423anabsi6 876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ 0) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0)
2513, 24sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ∧ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0)) → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0)
2625expr 642 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0))
271pjhcli 28405 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ)
28 norm-i 28114 . . . . . . . . . . . . 13 (((proj𝐻)‘𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
30 pjoc2 28426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻C𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
311, 30mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ ((proj𝐻)‘𝑥) = 0))
3229, 31bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)))
34 norm-i 28114 . . . . . . . . . . . . 13 (((proj𝐺)‘𝑥) ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
3514, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
36 pjoc2 28426 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺C𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
372, 36mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐺) ↔ ((proj𝐺)‘𝑥) = 0))
3835, 37bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) = 0 ↔ 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4026, 33, 393imtr3d 282 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4140ex 449 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4241a2i 14 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4311, 42syl5 34 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺))))
4443pm2.43d 53 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4544alimi 1779 . . . 4 (∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
46 df-ral 2946 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥))))
47 dfss2 3624 . . . 4 ((⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (⊥‘𝐻) → 𝑥 ∈ (⊥‘𝐺)))
4845, 46, 473imtr4i 281 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
492, 1chsscon3i 28448 . . 3 (𝐺𝐻 ↔ (⊥‘𝐻) ⊆ (⊥‘𝐺))
5048, 49sylibr 224 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)) → 𝐺𝐻)
519, 50impbii 199 1 (𝐺𝐻 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (norm‘((proj𝐺)‘𝑥)) ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  chil 27904   ·ih csp 27907  normcno 27908  0c0v 27909   cmv 27910   C cch 27914  cort 27915  projcpjh 27922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382
This theorem is referenced by:  pjssposi  29159
  Copyright terms: Public domain W3C validator