Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnmopi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjnmopi 29135
 Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pjnmopi (𝐻 ≠ 0 → (normop‘(proj𝐻)) = 1)

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4 𝐻C
21pjfi 28691 . . 3 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
3 nmopval 28843 . . 3 ((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ → (normop‘(proj𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ))
42, 3ax-mp 5 . 2 (normop‘(proj𝐻)) = sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < )
5 vex 3234 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
6 eqeq1 2655 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ↔ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
76anbi2d 740 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
87rexbidv 3081 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
95, 8elab 3382 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
10 pjnorm 28711 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻C𝑦 ∈ ℋ) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦))
111, 10mpan 706 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦))
121pjhcli 28405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℋ → ((proj𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ)
13 normcl 28110 . . . . . . . . . . . 12 (((proj𝐻)‘𝑦) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ)
15 normcl 28110 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℋ → (norm𝑦) ∈ ℝ)
16 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
17 letr 10169 . . . . . . . . . . . 12 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
1816, 17mp3an3 1453 . . . . . . . . . . 11 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) ∈ ℝ) → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
1914, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ (norm𝑦) ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2011, 19mpand 711 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℋ → ((norm𝑦) ≤ 1 → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2120imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ (norm𝑦) ≤ 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1)
22 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1))
2322biimparc 503 . . . . . . . 8 (((norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
2421, 23sylan 487 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ (norm𝑦) ≤ 1) ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
2524expl 647 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1))
2625rexlimiv 3056 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑧 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) → 𝑧 ≤ 1)
279, 26sylbi 207 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} → 𝑧 ≤ 1)
2827rgen 2951 . . 3 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1
291cheli 28217 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻𝑦 ∈ ℋ)
3029adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → 𝑦 ∈ ℋ)
3129, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐻 → (norm𝑦) ∈ ℝ)
32 eqle 10177 . . . . . . . . . 10 (((norm𝑦) ∈ ℝ ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) ≤ 1)
3331, 32sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) ≤ 1)
34 pjid 28682 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐻C𝑦𝐻) → ((proj𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
351, 34mpan 706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦𝐻 → ((proj𝐻)‘𝑦) = 𝑦)
3635fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐻 → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) = (norm𝑦))
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) = (norm𝑦))
38 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (norm𝑦) = 1)
3937, 38eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))
4030, 33, 39jca32 557 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐻 ∧ (norm𝑦) = 1) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
4140reximi2 3039 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
421chne0i 28440 . . . . . . . 8 (𝐻 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0)
431chshii 28212 . . . . . . . . 9 𝐻S
4443norm1exi 28235 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐻 𝑦 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
4542, 44bitri 264 . . . . . . 7 (𝐻 ≠ 0 ↔ ∃𝑦𝐻 (norm𝑦) = 1)
46 1ex 10073 . . . . . . . 8 1 ∈ V
47 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → (𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)) ↔ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
4847anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
4948rexbidv 3081 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))))
5046, 49elab 3382 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 1 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦))))
5141, 45, 503imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐻 ≠ 0 → 1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))})
52 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑤 = 1 → (𝑧 < 𝑤𝑧 < 1))
5352rspcev 3340 . . . . . 6 ((1 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5451, 53sylan 487 . . . . 5 ((𝐻 ≠ 0𝑧 < 1) → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)
5554ex 449 . . . 4 (𝐻 ≠ 0 → (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
5655ralrimivw 2996 . . 3 (𝐻 ≠ 0 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))
57 nmopsetretHIL 28851 . . . . . 6 ((proj𝐻): ℋ⟶ ℋ → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ)
582, 57ax-mp 5 . . . . 5 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ
59 ressxr 10121 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
6058, 59sstri 3645 . . . 4 {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ*
6116rexri 10135 . . . 4 1 ∈ ℝ*
62 supxr2 12182 . . . 4 ((({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))} ⊆ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤))) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6360, 61, 62mpanl12 718 . . 3 ((∀𝑧 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 ≤ 1 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < 1 → ∃𝑤 ∈ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}𝑧 < 𝑤)) → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
6428, 56, 63sylancr 696 . 2 (𝐻 ≠ 0 → sup({𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ ℋ ((norm𝑦) ≤ 1 ∧ 𝑥 = (norm‘((proj𝐻)‘𝑦)))}, ℝ*, < ) = 1)
654, 64syl5eq 2697 1 (𝐻 ≠ 0 → (normop‘(proj𝐻)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  supcsup 8387  ℝcr 9973  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   ℋchil 27904  normℎcno 27908  0ℎc0v 27909   Cℋ cch 27914  0ℋc0h 27920  projℎcpjh 27922  normopcnop 27930 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382  df-nmop 28826 This theorem is referenced by:  pjbdlni  29136
 Copyright terms: Public domain W3C validator