Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjneli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjneli 28922
 Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjnorm.1 𝐻C
pjnorm.2 𝐴 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
pjneli 𝐴𝐻 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴))

Proof of Theorem pjneli
StepHypRef Expression
1 pjnorm.1 . . . 4 𝐻C
2 pjnorm.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2pjnormi 28920 . . 3 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴)
43biantrur 520 . 2 ((norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴) ∧ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
51, 2pjoc1i 28630 . . . 4 (𝐴𝐻 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
61, 2pjpythi 28921 . . . . . 6 ((norm𝐴)↑2) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7 sq0 13162 . . . . . . . 8 (0↑2) = 0
87oveq2i 6804 . . . . . . 7 (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
91, 2pjhclii 28621 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
109normcli 28328 . . . . . . . . . 10 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
1110resqcli 13156 . . . . . . . . 9 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
1211recni 10254 . . . . . . . 8 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
1312addid1i 10425 . . . . . . 7 (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)
148, 13eqtr2i 2794 . . . . . 6 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
156, 14eqeq12i 2785 . . . . 5 (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
161choccli 28506 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘𝐻) ∈ C
1716, 2pjhclii 28621 . . . . . . . . . 10 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
1817normcli 28328 . . . . . . . . 9 (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
1918resqcli 13156 . . . . . . . 8 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
2019recni 10254 . . . . . . 7 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21 0cn 10234 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
2221sqcli 13151 . . . . . . 7 (0↑2) ∈ ℂ
2312, 20, 22addcani 10431 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24 normge0 28323 . . . . . . . 8 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26 0le0 11312 . . . . . . 7 0 ≤ 0
27 0re 10242 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2818, 27sq11i 13161 . . . . . . 7 ((0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
2925, 26, 28mp2an 672 . . . . . 6 (((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
3017norm-i-i 28330 . . . . . 6 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
3123, 29, 303bitri 286 . . . . 5 ((((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
3215, 31bitr2i 265 . . . 4 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0 ↔ ((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
33 normge0 28323 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝐴))
342, 33ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (norm𝐴)
35 normge0 28323 . . . . . 6 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
369, 35ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))
372normcli 28328 . . . . . 6 (norm𝐴) ∈ ℝ
3837, 10sq11i 13161 . . . . 5 ((0 ≤ (norm𝐴) ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))) → (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
3934, 36, 38mp2an 672 . . . 4 (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
405, 32, 393bitri 286 . . 3 (𝐴𝐻 ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
4140necon3bbii 2990 . 2 𝐴𝐻 ↔ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
4210, 37ltleni 10357 . 2 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴) ∧ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
434, 41, 423bitr4i 292 1 𝐴𝐻 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138   + caddc 10141   < clt 10276   ≤ cle 10277  2c2 11272  ↑cexp 13067   ℋchil 28116  normℎcno 28120  0ℎc0v 28121   Cℋ cch 28126  ⊥cort 28127  projℎcpjh 28134 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-pjh 28594 This theorem is referenced by:  pjnel  28925
 Copyright terms: Public domain W3C validator