Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjimai Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjimai 29163
 Description: The image of a projection. Lemma 5 in Daniel Lehmann, "A presentation of Quantum Logic based on an and then connective" http://www.arxiv.org/pdf/quant-ph/0701113 p. 20. (Contributed by NM, 20-Jan-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjima.1 𝐴S
pjima.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
pjimai ((proj𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)

Proof of Theorem pjimai
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjima.2 . . . . . . . . 9 𝐵C
2 pjima.1 . . . . . . . . . 10 𝐴S
32sheli 28199 . . . . . . . . 9 (𝑣𝐴𝑣 ∈ ℋ)
4 pjeq 28386 . . . . . . . . 9 ((𝐵C𝑣 ∈ ℋ) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
51, 3, 4sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝑣𝐴 → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
6 ibar 524 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐵 → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤))))
76bicomd 213 . . . . . . . 8 (𝑢𝐵 → ((𝑢𝐵 ∧ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
85, 7sylan9bbr 737 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
91cheli 28217 . . . . . . . . . . 11 (𝑢𝐵𝑢 ∈ ℋ)
101choccli 28294 . . . . . . . . . . . 12 (⊥‘𝐵) ∈ C
1110cheli 28217 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ (⊥‘𝐵) → 𝑤 ∈ ℋ)
12 hvsubadd 28062 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
13123comr 1290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
14 ax-hvcom 27986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑢))
15143adant2 1100 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → (𝑢 + 𝑤) = (𝑤 + 𝑢))
1615eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑢 + 𝑤) = 𝑣 ↔ (𝑤 + 𝑢) = 𝑣))
1713, 16bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣))
189, 3, 11, 17syl3an 1408 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝐵𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → ((𝑣 𝑤) = 𝑢 ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣))
19 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ (𝑣 𝑤) = 𝑢)
20 eqcom 2658 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝑢 + 𝑤) ↔ (𝑢 + 𝑤) = 𝑣)
2118, 19, 203bitr4g 303 . . . . . . . . 9 ((𝑢𝐵𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
22213expa 1284 . . . . . . . 8 (((𝑢𝐵𝑣𝐴) ∧ 𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)) → (𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ 𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
2322rexbidva 3078 . . . . . . 7 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑣 = (𝑢 + 𝑤)))
248, 23bitr4d 271 . . . . . 6 ((𝑢𝐵𝑣𝐴) → (((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
2524rexbidva 3078 . . . . 5 (𝑢𝐵 → (∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢 ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
261pjfni 28688 . . . . . 6 (proj𝐵) Fn ℋ
272shssii 28198 . . . . . 6 𝐴 ⊆ ℋ
28 fvelimab 6292 . . . . . 6 (((proj𝐵) Fn ℋ ∧ 𝐴 ⊆ ℋ) → (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢))
2926, 27, 28mp2an 708 . . . . 5 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐴 ((proj𝐵)‘𝑣) = 𝑢)
3010chshii 28212 . . . . . 6 (⊥‘𝐵) ∈ S
31 shsel3 28302 . . . . . 6 ((𝐴S ∧ (⊥‘𝐵) ∈ S ) → (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤)))
322, 30, 31mp2an 708 . . . . 5 (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ↔ ∃𝑣𝐴𝑤 ∈ (⊥‘𝐵)𝑢 = (𝑣 𝑤))
3325, 29, 323bitr4g 303 . . . 4 (𝑢𝐵 → (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵))))
3433pm5.32ri 671 . . 3 ((𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢𝐵))
35 imassrn 5512 . . . . . 6 ((proj𝐵) “ 𝐴) ⊆ ran (proj𝐵)
361pjrni 28689 . . . . . 6 ran (proj𝐵) = 𝐵
3735, 36sseqtri 3670 . . . . 5 ((proj𝐵) “ 𝐴) ⊆ 𝐵
3837sseli 3632 . . . 4 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) → 𝑢𝐵)
3938pm4.71i 665 . . 3 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ∧ 𝑢𝐵))
40 elin 3829 . . 3 (𝑢 ∈ ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵) ↔ (𝑢 ∈ (𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∧ 𝑢𝐵))
4134, 39, 403bitr4i 292 . 2 (𝑢 ∈ ((proj𝐵) “ 𝐴) ↔ 𝑢 ∈ ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵))
4241eqriv 2648 1 ((proj𝐵) “ 𝐴) = ((𝐴 + (⊥‘𝐵)) ∩ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ran crn 5144   “ cima 5146   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   +ℎ cva 27905   −ℎ cmv 27910   Sℋ csh 27913   Cℋ cch 27914  ⊥cort 27915   +ℋ cph 27916  projℎcpjh 27922 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-pjh 28382 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator