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Theorem pjhthlem1 28584
Description: Lemma for pjhth 28586. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻C
pjhth.2 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3 (𝜑𝐵𝐻)
pjhth.4 (𝜑𝐶𝐻)
pjhth.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)))
pjhth.6 𝑇 = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjhthlem1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐻   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem pjhthlem1
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
2 pjhth.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐻)
3 pjhth.1 . . . . . 6 𝐻C
43cheli 28423 . . . . 5 (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
6 hvsubcl 28208 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
71, 5, 6syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
8 pjhth.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝐻)
93cheli 28423 . . . 4 (𝐶𝐻𝐶 ∈ ℋ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
11 hicl 28271 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
127, 10, 11syl2anc 565 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
1312abscld 14382 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℝ)
1413recnd 10269 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
1513resqcld 13241 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
1615renegcld 10658 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17 hiidrcl 28286 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
1810, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
19 2re 11291 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
20 readdcl 10220 . . . . . . . 8 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancl 566 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22 0red 10242 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23 peano2re 10410 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
2418, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25 hiidge0 28289 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
2610, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
2718ltp1d 11155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
2822, 18, 24, 26, 27lelttrd 10396 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
2924ltp1d 11155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
3018recnd 10269 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
31 ax-1cn 10195 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
32 addass 10224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3331, 31, 32mp3an23 1563 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
35 df-2 11280 . . . . . . . . . . 11 2 = (1 + 1)
3635oveq2i 6803 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1))
3734, 36syl6reqr 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
3829, 37breqtrrd 4812 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
3922, 24, 21, 28, 38lttrd 10399 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
4021, 39elrpd 12071 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ+)
41 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
4241fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → (norm‘(𝐴 𝑥)) = (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
4342breq2d 4796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)) ↔ (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))))
44 pjhth.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)))
453chshii 28418 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻S
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻S )
47 pjhth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
4824recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
4918, 26ge0p1rpd 12104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+)
5049rpne0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
5112, 48, 50divcld 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
5247, 51syl5eqel 2853 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
53 shmulcl 28409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻S𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐻) → (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻)
5446, 52, 8, 53syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻)
55 shaddcl 28408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻S𝐵𝐻 ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻)
5646, 2, 54, 55syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻)
5743, 44, 56rspcdva 3464 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
583cheli 28423 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ)
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ)
60 hvsubass 28235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
611, 5, 59, 60syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
6261fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
6357, 62breqtrrd 4812 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
64 normcl 28316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
657, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
66 hvsubcl 28208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ)
677, 59, 66syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ)
68 normcl 28316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℝ)
70 normge0 28317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)))
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)))
7222, 65, 69, 71, 63letrd 10395 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
7365, 69, 71, 72le2sqd 13250 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ↔ ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2)))
7463, 73mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2))
7569resqcld 13241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
7665resqcld 13241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
7775, 76subge0d 10818 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) ↔ ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2)))
7874, 77mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
79 2z 11610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
80 rpexpcl 13085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
8149, 79, 80sylancl 566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
8215, 81rerpdivcld 12105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
8382, 21remulcld 10271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
8483recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
8584negcld 10580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86 hicl 28271 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
877, 7, 86syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
8885, 87pncand 10594 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
89 normsq 28325 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
9067, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
91 his2sub 28283 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
927, 59, 67, 91syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
93 his2sub2 28284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
947, 7, 59, 93syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
9594oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = ((((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
96 hicl 28271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
977, 59, 96syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
98 his2sub2 28284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
9959, 7, 59, 98syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
100 hicl 28271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
10159, 7, 100syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
102 hicl 28271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
10359, 59, 102syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
104101, 103subcld 10593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℂ)
10599, 104eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℂ)
10687, 97, 105subsub4d 10624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))))
10782recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
10831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109107, 48, 108adddid 10265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
11037oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)))
111 his5 28277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)))
11252, 7, 10, 111syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)))
11352cjcld 14143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114113, 12mulcomd 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
11512cjcld 14143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
11612, 115, 48, 50divassd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
11712absvalsqd 14388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))))
118117oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
11947fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
12012, 48, 50cjdivd 14170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
12124cjred 14173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
122121oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
123120, 122eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
124119, 123syl5eq 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
125124oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
126116, 118, 1253eqtr4rd 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
127112, 114, 1263eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
12815recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129128, 48mulcomd 10262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
13048sqvald 13211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
131129, 130oveq12d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
132128, 48, 48, 50, 50divcan5d 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
133131, 132eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
13424resqcld 13241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135134recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
13681rpne0d 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137128, 48, 135, 136div23d 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
138127, 133, 1373eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
13982, 24remulcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140138, 139eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ)
141 hire 28285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵))))
1427, 59, 141syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵))))
143140, 142mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)))
144143, 138eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
145 his35 28279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
14652, 52, 10, 10, 145syl22anc 1476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
14747fveq2i 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
14812, 48, 50absdivd 14401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
14949rpge0d 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
15024, 149absidd 14368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
151150oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
152148, 151eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
153147, 152syl5eq 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
154153oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2))
15552absvalsqd 14388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
15614, 48, 50sqdivd 13227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
157154, 155, 1563eqtr3d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
158157oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
159146, 158eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
160144, 159oveq12d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
161 pncan2 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
16230, 31, 161sylancl 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
163162oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164107, 48, 30subdid 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
165163, 164eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
166160, 99, 1653eqtr4d 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167138, 166oveq12d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168109, 110, 1673eqtr4rd 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
169168oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17095, 106, 1693eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17190, 92, 1703eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17287, 84negsubd 10599 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17387, 85addcomd 10439 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
174171, 172, 1733eqtr2d 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
175 normsq 28325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
1767, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
177174, 176oveq12d 6810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
17821renegcld 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179178recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180128, 179, 135, 136div23d 11039 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
18121recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182107, 181mulneg2d 10685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
183180, 182eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
18488, 177, 1833eqtr4rd 2815 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
18578, 184breqtrrd 4812 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
18615, 178remulcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187186, 81ge0divd 12112 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2))))
188185, 187mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
189 mulneg12 10669 . . . . . . . 8 ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
190128, 181, 189syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
191188, 190breqtrrd 4812 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
19216, 40, 191prodge0ld 12140 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
19315le0neg1d 10800 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
194192, 193mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
19513sqge0d 13242 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
196 0re 10241 . . . . 5 0 ∈ ℝ
197 letri3 10324 . . . . 5 ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
19815, 196, 197sylancl 566 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
199194, 195, 198mpbir2and 684 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0)
20014, 199sqeq0d 13213 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) = 0)
20112, 200abs00d 14392 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  2c2 11271  cz 11578  +crp 12034  cexp 13066  ccj 14043  abscabs 14181  chil 28110   + cva 28111   · csm 28112   ·ih csp 28113  normcno 28114   cmv 28116   S csh 28119   C cch 28120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hfvmul 28196  ax-hvdistr1 28199  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-hnorm 28159  df-hvsub 28162  df-sh 28398  df-ch 28412
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