HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhtheu 28594
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 28616 for the uniqueness of 𝑦. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 28593 . . . . 5 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
21eleq2d 2834 . . . 4 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ ℋ))
3 chsh 28422 . . . . 5 (𝐻C𝐻S )
4 shocsh 28484 . . . . . 6 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
6 shsel 28514 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
73, 5, 6syl2anc 693 . . . 4 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
82, 7bitr3d 270 . . 3 (𝐻C → (𝐴 ∈ ℋ ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
98biimpa 503 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
10 ocin 28496 . . . . 5 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
113, 10syl 17 . . . 4 (𝐻C → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
12 pjhthmo 28502 . . . 4 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0) → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
133, 5, 11, 12syl3anc 1474 . . 3 (𝐻C → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
1413adantr 473 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
15 reu5 3306 . . 3 (∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
16 df-rmo 3067 . . . 4 (∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
1716anbi2i 729 . . 3 ((∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1815, 17bitri 264 . 2 (∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
199, 14, 18sylanbrc 698 1 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  ∃*wmo 2617  wrex 3060  ∃!wreu 3061  ∃*wrmo 3062  cin 3719  cfv 6030  (class class class)co 6791  chil 28117   + cva 28118   S csh 28126   C cch 28127  cort 28128   + cph 28129  0c0h 28133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cc 9457  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214  ax-addf 10215  ax-mulf 10216  ax-hilex 28197  ax-hfvadd 28198  ax-hvcom 28199  ax-hvass 28200  ax-hv0cl 28201  ax-hvaddid 28202  ax-hfvmul 28203  ax-hvmulid 28204  ax-hvmulass 28205  ax-hvdistr1 28206  ax-hvdistr2 28207  ax-hvmul0 28208  ax-hfi 28277  ax-his1 28280  ax-his2 28281  ax-his3 28282  ax-his4 28283  ax-hcompl 28400
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-acn 8966  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fl 12800  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-clim 14430  df-rlim 14431  df-rest 16297  df-topgen 16318  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-top 20925  df-topon 20942  df-bases 20977  df-cld 21050  df-ntr 21051  df-cls 21052  df-nei 21129  df-lm 21260  df-haus 21346  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-cfil 23278  df-cau 23279  df-cmet 23280  df-grpo 27688  df-gid 27689  df-ginv 27690  df-gdiv 27691  df-ablo 27740  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-vs 27795  df-nmcv 27796  df-ims 27797  df-ssp 27918  df-ph 28009  df-cbn 28060  df-hnorm 28166  df-hba 28167  df-hvsub 28169  df-hlim 28170  df-hcau 28171  df-sh 28405  df-ch 28419  df-oc 28450  df-ch0 28451  df-shs 28508
This theorem is referenced by:  pjhtheu2  28616
  Copyright terms: Public domain W3C validator