Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhth 28582
 Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhth (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 28411 . . 3 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 28473 . . . 4 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
31, 2syl 17 . . 3 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
4 shsss 28502 . . 3 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
51, 3, 4syl2anc 696 . 2 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
6 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ)))
76rexeqdv 3284 . . . . . . 7 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
87rexeqbi1dv 3286 . . . . . 6 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
98imbi2d 329 . . . . 5 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))))
10 ifchhv 28431 . . . . . 6 if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∈ C
11 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
1210, 11pjhthlem2 28581 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
139, 12dedth 4283 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
14 shsel 28503 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
151, 3, 14syl2anc 696 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
1613, 15sylibrd 249 . . 3 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))))
1716ssrdv 3750 . 2 (𝐻C → ℋ ⊆ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
185, 17eqssd 3761 1 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ℋchil 28106   +ℎ cva 28107   Sℋ csh 28115   Cℋ cch 28116  ⊥cort 28117   +ℋ cph 28118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228  ax-hilex 28186  ax-hfvadd 28187  ax-hvcom 28188  ax-hvass 28189  ax-hv0cl 28190  ax-hvaddid 28191  ax-hfvmul 28192  ax-hvmulid 28193  ax-hvmulass 28194  ax-hvdistr1 28195  ax-hvdistr2 28196  ax-hvmul0 28197  ax-hfi 28266  ax-his1 28269  ax-his2 28270  ax-his3 28271  ax-his4 28272  ax-hcompl 28389 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lm 21255  df-haus 21341  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-cfil 23273  df-cau 23274  df-cmet 23275  df-grpo 27677  df-gid 27678  df-ginv 27679  df-gdiv 27680  df-ablo 27729  df-vc 27744  df-nv 27777  df-va 27780  df-ba 27781  df-sm 27782  df-0v 27783  df-vs 27784  df-nmcv 27785  df-ims 27786  df-ssp 27907  df-ph 27998  df-cbn 28049  df-hnorm 28155  df-hba 28156  df-hvsub 28158  df-hlim 28159  df-hcau 28160  df-sh 28394  df-ch 28408  df-oc 28439  df-ch0 28440  df-shs 28497 This theorem is referenced by:  pjhtheu  28583  pjeq  28588  axpjpj  28609
 Copyright terms: Public domain W3C validator