MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjff 20179
Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjff (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))

Proof of Theorem pjff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 eqid 2724 . . . 4 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
3 eqid 2724 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4 eqid 2724 . . . 4 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
5 phllmod 20098 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
65adantr 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 eqid 2724 . . . . . 6 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
9 pjf.k . . . . . 6 𝐾 = (proj‘𝑊)
107, 1, 8, 2, 9pjdm2 20178 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))))
1110simprbda 654 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊))
127, 1lssss 19060 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
1311, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊))
147, 8, 1ocvlss 20139 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1513, 14syldan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑥) ∈ (LSubSp‘𝑊))
168, 1, 3ocvin 20141 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g𝑊)})
1711, 16syldan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = {(0g𝑊)})
181, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17pj1lmhm 19223 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ ((𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊))
1910simplbda 655 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) = (Base‘𝑊))
2019oveq2d 6781 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑊s (Base‘𝑊)))
217ressid 16058 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑊s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
2221adantr 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (Base‘𝑊)) = 𝑊)
2320, 22eqtrd 2758 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) = 𝑊)
2423oveq1d 6780 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → ((𝑊s (𝑥(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥))) LMHom 𝑊) = (𝑊 LMHom 𝑊))
2518, 24eleqtrd 2805 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐾) → (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)) ∈ (𝑊 LMHom 𝑊))
268, 4, 9pjfval2 20176 . 2 𝐾 = (𝑥 ∈ dom 𝐾 ↦ (𝑥(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑥)))
2725, 26fmptd 6500 1 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐾:dom 𝐾⟶(𝑊 LMHom 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cin 3679  wss 3680  {csn 4285  dom cdm 5218  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980  s cress 15981  0gc0g 16223  LSSumclsm 18170  proj1cpj1 18171  LModclmod 18986  LSubSpclss 19055   LMHom clmhm 19142  PreHilcphl 20092  ocvcocv 20127  projcpj 20167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-subg 17713  df-ghm 17780  df-cntz 17871  df-lsm 18172  df-pj1 18173  df-cmn 18316  df-abl 18317  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-lmod 18988  df-lss 19056  df-lmhm 19145  df-lvec 19226  df-sra 19295  df-rgmod 19296  df-phl 20094  df-ocv 20130  df-pj 20170
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator