HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjcjt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjcjt2 28885
Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjcjt2 ((𝐻C𝐺C𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(𝐻 𝐺))‘𝐴) = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴))))

Proof of Theorem pjcjt2
StepHypRef Expression
1 sseq1 3773 . . 3 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺)))
2 fvoveq1 6815 . . . . 5 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (proj‘(𝐻 𝐺)) = (proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺)))
32fveq1d 6334 . . . 4 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((proj‘(𝐻 𝐺))‘𝐴) = ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺))‘𝐴))
4 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (proj𝐻) = (proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ)))
54fveq1d 6334 . . . . 5 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((proj𝐻)‘𝐴) = ((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴))
65oveq1d 6807 . . . 4 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴)) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴)))
73, 6eqeq12d 2785 . . 3 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (((proj‘(𝐻 𝐺))‘𝐴) = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴))))
81, 7imbi12d 333 . 2 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(𝐻 𝐺))‘𝐴) = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴)))))
9 fveq2 6332 . . . 4 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (⊥‘𝐺) = (⊥‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))
109sseq2d 3780 . . 3 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) ↔ if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))))
11 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺) = (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))
1211fveq2d 6336 . . . . 5 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺)) = (proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ))))
1312fveq1d 6334 . . . 4 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺))‘𝐴) = ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘𝐴))
14 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (proj𝐺) = (proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))
1514fveq1d 6334 . . . . 5 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → ((proj𝐺)‘𝐴) = ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴))
1615oveq2d 6808 . . . 4 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴)) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))
1713, 16eqeq12d 2785 . . 3 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → (((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴)) ↔ ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴))))
1810, 17imbi12d 333 . 2 (𝐺 = if(𝐺C , 𝐺, ℋ) → ((if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ 𝐺))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴))) ↔ (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ)) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴)))))
19 fveq2 6332 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
20 fveq2 6332 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) = ((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
21 fveq2 6332 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴) = ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
2220, 21oveq12d 6810 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
2319, 22eqeq12d 2785 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴)) ↔ ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
2423imbi2d 329 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ)) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘𝐴) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘𝐴) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘𝐴))) ↔ (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ)) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
25 ifchhv 28435 . . 3 if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∈ C
26 ifhvhv0 28213 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
27 ifchhv 28435 . . 3 if(𝐺C , 𝐺, ℋ) ∈ C
2825, 26, 27pjcji 28877 . 2 (if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ⊆ (⊥‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ)) → ((proj‘(if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∨ if(𝐺C , 𝐺, ℋ)))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (((proj‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + ((proj‘if(𝐺C , 𝐺, ℋ))‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
298, 18, 24, 28dedth3h 4278 1 ((𝐻C𝐺C𝐴 ∈ ℋ) → (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(𝐻 𝐺))‘𝐴) = (((proj𝐻)‘𝐴) + ((proj𝐺)‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721  ifcif 4223  cfv 6031  (class class class)co 6792  chil 28110   + cva 28111  0c0v 28115   C cch 28120  cort 28121   chj 28124  projcpjh 28128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hvcom 28192  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hvaddid 28195  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvmulass 28198  ax-hvdistr1 28199  ax-hvdistr2 28200  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276  ax-hcompl 28393
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-lm 21253  df-haus 21339  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cfil 23271  df-cau 23272  df-cmet 23273  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790  df-dip 27890  df-ssp 27911  df-ph 28002  df-cbn 28053  df-hnorm 28159  df-hba 28160  df-hvsub 28162  df-hlim 28163  df-hcau 28164  df-sh 28398  df-ch 28412  df-oc 28443  df-ch0 28444  df-shs 28501  df-chj 28503  df-pjh 28588
This theorem is referenced by:  pjsumi  28903  pjscji  29363  strlem3a  29445  hstrlem3a  29453
  Copyright terms: Public domain W3C validator