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Theorem pj3si 29406
Description: Stronger projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1 𝐹C
pjadj2co.2 𝐺C
pjadj2co.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pj3si (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))

Proof of Theorem pj3si
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjadj2co.1 . . . . . . . . . 10 𝐹C
2 pjadj2co.2 . . . . . . . . . 10 𝐺C
3 pjadj2co.3 . . . . . . . . . 10 𝐻C
41, 2, 3pj2cocli 29404 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
54adantl 467 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐹)
61pjfi 28903 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
72pjfi 28903 . . . . . . . . . . . . 13 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
86, 7hocofi 28965 . . . . . . . . . . . 12 ((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)): ℋ⟶ ℋ
93pjfi 28903 . . . . . . . . . . . 12 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
108, 9hocofni 28966 . . . . . . . . . . 11 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ
11 fnfvelrn 6499 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
1210, 11mpan 670 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)))
13 ssel 3746 . . . . . . . . . 10 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1412, 13syl5 34 . . . . . . . . 9 (ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺 → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺))
1514imp 393 . . . . . . . 8 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐺)
165, 15elind 3949 . . . . . . 7 ((ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
1716adantll 693 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ (𝐹𝐺))
183, 2, 1pj2cocli 29404 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻)
19 fveq1 6331 . . . . . . . . . 10 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
2019eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻 ↔ ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2118, 20syl5ibr 236 . . . . . . . 8 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) → (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻))
2221imp 393 . . . . . . 7 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2322adantlr 694 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ 𝐻)
2417, 23elind 3949 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))
258, 9hococli 28964 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
26 hvsubcl 28214 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2725, 26mpdan 667 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
2827adantl 467 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ)
29 simpl 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑥 ∈ ℋ)
3025adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ)
311, 2chincli 28659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝐺) ∈ C
3231, 3chincli 28659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ C
3332cheli 28429 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℋ)
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℋ)
3529, 30, 343jca 1122 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
3635adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
37 his2sub 28289 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
3919adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥))
4039oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦))
413, 2, 1pjadj2coi 29403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
4233, 41sylan2 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)))
431, 2, 3pj3lem1 29405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦) = 𝑦)
4443oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4544adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (𝑥 ·ih ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4642, 45eqtrd 2805 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4740, 46sylan9eq 2825 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑦))
4847oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = ((𝑥 ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)))
4925, 33anim12i 600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
5049adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ))
51 hicl 28277 . . . . . . . . . . 11 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) ∈ ℂ)
5352subidd 10582 . . . . . . . . 9 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦) − (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ·ih 𝑦)) = 0)
5438, 48, 533eqtr2d 2811 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5554expr 444 . . . . . . 7 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
5655ralrimiv 3114 . . . . . 6 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)
5732chshii 28424 . . . . . . 7 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S
58 shocel 28481 . . . . . . 7 (((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∈ S → ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0)))
5957, 58ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)) ↔ ((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)((𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ·ih 𝑦) = 0))
6028, 56, 59sylanbrc 572 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
6132pjvi 28904 . . . . 5 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) ∧ (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) ∈ (⊥‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
6224, 60, 61syl2anc 573 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))
63 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
64 hvaddsub12 28235 . . . . . . . 8 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ) → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
6525, 63, 25, 64syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))))
66 hvsubid 28223 . . . . . . . . . 10 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6725, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)) = 0)
6867oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = (𝑥 + 0))
69 ax-hvaddid 28201 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + 0) = 𝑥)
7068, 69eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑥 + (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) − ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7165, 70eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥))) = 𝑥)
7271fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7372adantl 467 . . . 4 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘(((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) + (𝑥 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥)))) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7462, 73eqtr3d 2807 . . 3 ((((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
7574ralrimiva 3115 . 2 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥))
768, 9hocofi 28965 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7732pjfi 28903 . . 3 (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)): ℋ⟶ ℋ
7876, 77hoeqi 28960 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝑥) = ((proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻))‘𝑥) ↔ (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
7975, 78sylib 208 1 (((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (((proj𝐻) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐹)) ∧ ran (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) ⊆ 𝐺) → (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = (proj‘((𝐹𝐺) ∩ 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  cin 3722  wss 3723  ran crn 5250  ccom 5253   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  cmin 10468  chil 28116   + cva 28117   ·ih csp 28119  0c0v 28121   cmv 28122   S csh 28125   C cch 28126  cort 28127  projcpjh 28134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-pjh 28594
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