HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pj3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj3lem1 29422
Description: Lemma for projection triplet theorem. (Contributed by NM, 2-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjadj2co.1 𝐹C
pjadj2co.2 𝐺C
pjadj2co.3 𝐻C
Assertion
Ref Expression
pj3lem1 (𝐴 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem pj3lem1
StepHypRef Expression
1 coass 5809 . . 3 (((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻)) = ((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))
21fveq1i 6349 . 2 ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = (((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))‘𝐴)
3 elin 3954 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐹 ∩ (𝐺𝐻)) ↔ (𝐴𝐹𝐴 ∈ (𝐺𝐻)))
4 pjadj2co.1 . . . . . . . 8 𝐹C
54cheli 28446 . . . . . . 7 (𝐴𝐹𝐴 ∈ ℋ)
65adantr 467 . . . . . 6 ((𝐴𝐹𝐴 ∈ (𝐺𝐻)) → 𝐴 ∈ ℋ)
74pjfi 28920 . . . . . . 7 (proj𝐹): ℋ⟶ ℋ
8 pjadj2co.2 . . . . . . . . 9 𝐺C
98pjfi 28920 . . . . . . . 8 (proj𝐺): ℋ⟶ ℋ
10 pjadj2co.3 . . . . . . . . 9 𝐻C
1110pjfi 28920 . . . . . . . 8 (proj𝐻): ℋ⟶ ℋ
129, 11hocofi 28982 . . . . . . 7 ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)): ℋ⟶ ℋ
137, 12hocoi 28980 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))‘𝐴) = ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)))
146, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝐹𝐴 ∈ (𝐺𝐻)) → (((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))‘𝐴) = ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)))
158, 10pjclem4a 29414 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐺𝐻) → (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
16 eleq1 2841 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹𝐴𝐹))
17 pjid 28911 . . . . . . . . . 10 ((𝐹C ∧ (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹) → ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴))
184, 17mpan 671 . . . . . . . . 9 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) ∈ 𝐹 → ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴))
1916, 18syl6bir 245 . . . . . . . 8 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴𝐹 → ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)))
20 eqeq2 2785 . . . . . . . 8 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = (((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) ↔ ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
2119, 20sylibd 230 . . . . . . 7 ((((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴𝐹 → ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
2215, 21syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐺𝐻) → (𝐴𝐹 → ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = 𝐴))
2322impcom 395 . . . . 5 ((𝐴𝐹𝐴 ∈ (𝐺𝐻)) → ((proj𝐹)‘(((proj𝐺) ∘ (proj𝐻))‘𝐴)) = 𝐴)
2414, 23eqtrd 2808 . . . 4 ((𝐴𝐹𝐴 ∈ (𝐺𝐻)) → (((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
253, 24sylbi 208 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐹 ∩ (𝐺𝐻)) → (((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
26 inass 3979 . . 3 ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) = (𝐹 ∩ (𝐺𝐻))
2725, 26eleq2s 2871 . 2 (𝐴 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → (((proj𝐹) ∘ ((proj𝐺) ∘ (proj𝐻)))‘𝐴) = 𝐴)
282, 27syl5eq 2820 1 (𝐴 ∈ ((𝐹𝐺) ∩ 𝐻) → ((((proj𝐹) ∘ (proj𝐺)) ∘ (proj𝐻))‘𝐴) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  cin 3728  ccom 5267  cfv 6042  chil 28133   C cch 28143  projcpjh 28151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cc 9480  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237  ax-addf 10238  ax-mulf 10239  ax-hilex 28213  ax-hfvadd 28214  ax-hvcom 28215  ax-hvass 28216  ax-hv0cl 28217  ax-hvaddid 28218  ax-hfvmul 28219  ax-hvmulid 28220  ax-hvmulass 28221  ax-hvdistr1 28222  ax-hvdistr2 28223  ax-hvmul0 28224  ax-hfi 28293  ax-his1 28296  ax-his2 28297  ax-his3 28298  ax-his4 28299  ax-hcompl 28416
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-omul 7739  df-er 7917  df-map 8032  df-pm 8033  df-ixp 8084  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-fi 8494  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-acn 8989  df-cda 9213  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-xneg 12168  df-xadd 12169  df-xmul 12170  df-ioo 12403  df-ico 12405  df-icc 12406  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-seq 13031  df-exp 13090  df-hash 13344  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-starv 16184  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-ip 16187  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-unif 16193  df-hom 16194  df-cco 16195  df-rest 16311  df-topn 16312  df-0g 16330  df-gsum 16331  df-topgen 16332  df-pt 16333  df-prds 16336  df-xrs 16390  df-qtop 16395  df-imas 16396  df-xps 16398  df-mre 16474  df-mrc 16475  df-acs 16477  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-submnd 17564  df-mulg 17769  df-cntz 17977  df-cmn 18422  df-psmet 19973  df-xmet 19974  df-met 19975  df-bl 19976  df-mopn 19977  df-fbas 19978  df-fg 19979  df-cnfld 19982  df-top 20939  df-topon 20956  df-topsp 20978  df-bases 20991  df-cld 21064  df-ntr 21065  df-cls 21066  df-nei 21143  df-cn 21272  df-cnp 21273  df-lm 21274  df-haus 21360  df-tx 21606  df-hmeo 21799  df-fil 21890  df-fm 21982  df-flim 21983  df-flf 21984  df-xms 22365  df-ms 22366  df-tms 22367  df-cfil 23292  df-cau 23293  df-cmet 23294  df-grpo 27704  df-gid 27705  df-ginv 27706  df-gdiv 27707  df-ablo 27756  df-vc 27771  df-nv 27804  df-va 27807  df-ba 27808  df-sm 27809  df-0v 27810  df-vs 27811  df-nmcv 27812  df-ims 27813  df-dip 27913  df-ssp 27934  df-ph 28025  df-cbn 28076  df-hnorm 28182  df-hba 28183  df-hvsub 28185  df-hlim 28186  df-hcau 28187  df-sh 28421  df-ch 28435  df-oc 28466  df-ch0 28467  df-shs 28524  df-pjh 28611
This theorem is referenced by:  pj3si  29423
  Copyright terms: Public domain W3C validator