MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1rid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1rid 18322
Description: The left projection function is the zero operator on the right subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1rid ((𝜑𝑋𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem pj1rid
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 subgrcl 17807 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝐺 ∈ Grp)
5 pj1eu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
76subgss 17803 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
85, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
98sselda 3752 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
10 pj1eu.a . . . . . 6 + = (+g𝐺)
11 pj1eu.o . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
126, 10, 11grplid 17660 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
134, 9, 12syl2anc 573 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
1413eqcomd 2777 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 = ( 0 + 𝑋))
15 pj1eu.s . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
16 pj1eu.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
175adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
1918adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑇𝑈) = { 0 })
20 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
2120adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
22 pj1f.p . . . 4 𝑃 = (proj1𝐺)
2315lsmub2 18279 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
241, 5, 23syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑𝑈 ⊆ (𝑇 𝑈))
2524sselda 3752 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (𝑇 𝑈))
2611subg0cl 17810 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0𝑇)
272, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 0𝑇)
28 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
2910, 15, 11, 16, 2, 17, 19, 21, 22, 25, 27, 28pj1eq 18320 . . 3 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑋 = ( 0 + 𝑋) ↔ (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋)))
3014, 29mpbid 222 . 2 ((𝜑𝑋𝑈) → (((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 ∧ ((𝑈𝑃𝑇)‘𝑋) = 𝑋))
3130simpld 482 1 ((𝜑𝑋𝑈) → ((𝑇𝑃𝑈)‘𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  {csn 4316  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955  LSSumclsm 18256  proj1cpj1 18257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-pj1 18259
This theorem is referenced by:  dpjidcl  18665
  Copyright terms: Public domain W3C validator