MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1lmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1lmhm2 19313
Description: The left projection function is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1lmhm.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
pj1lmhm.s = (LSSum‘𝑊)
pj1lmhm.z 0 = (0g𝑊)
pj1lmhm.p 𝑃 = (proj1𝑊)
pj1lmhm.1 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
pj1lmhm.2 (𝜑𝑇𝐿)
pj1lmhm.3 (𝜑𝑈𝐿)
pj1lmhm.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
pj1lmhm2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇)))

Proof of Theorem pj1lmhm2
StepHypRef Expression
1 pj1lmhm.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
2 pj1lmhm.s . . 3 = (LSSum‘𝑊)
3 pj1lmhm.z . . 3 0 = (0g𝑊)
4 pj1lmhm.p . . 3 𝑃 = (proj1𝑊)
5 pj1lmhm.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 pj1lmhm.2 . . 3 (𝜑𝑇𝐿)
7 pj1lmhm.3 . . 3 (𝜑𝑈𝐿)
8 pj1lmhm.4 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1lmhm 19312 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊))
10 eqid 2770 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
11 eqid 2770 . . . . 5 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
121lsssssubg 19170 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
135, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1413, 6sseldd 3751 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
1513, 7sseldd 3751 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
16 lmodabl 19119 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
175, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
1811, 17, 14, 15ablcntzd 18466 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘𝑈))
1910, 2, 3, 11, 14, 15, 8, 18, 4pj1f 18316 . . . 4 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
20 frn 6193 . . . 4 ((𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
2119, 20syl 17 . . 3 (𝜑 → ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇)
22 eqid 2770 . . . 4 (𝑊s 𝑇) = (𝑊s 𝑇)
2322, 1reslmhm2b 19266 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝐿 ∧ ran (𝑇𝑃𝑈) ⊆ 𝑇) → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇))))
245, 6, 21, 23syl3anc 1475 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom 𝑊) ↔ (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇))))
259, 24mpbid 222 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) ∈ ((𝑊s (𝑇 𝑈)) LMHom (𝑊s 𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  cin 3720  wss 3721  {csn 4314  ran crn 5250  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  s cress 16064  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  SubGrpcsubg 17795  Cntzccntz 17954  LSSumclsm 18255  proj1cpj1 18256  Abelcabl 18400  LModclmod 19072  LSubSpclss 19141   LMHom clmhm 19231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-pj1 18258  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lmhm 19234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator