Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1f 18317
 Description: The left projection function maps a direct subspace sum onto the left factor. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
pj1f.p 𝑃 = (proj1𝐺)
Assertion
Ref Expression
pj1f (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)

Proof of Theorem pj1f
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.a . . . . 5 + = (+g𝐺)
2 pj1eu.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
3 pj1eu.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
4 pj1eu.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
5 pj1eu.2 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 pj1eu.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 pj1eu.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
8 pj1eu.5 . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pj1eu 18316 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))
10 riotacl 6768 . . . 4 (∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑇 𝑈)) → (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)) ∈ 𝑇)
12 eqid 2771 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)))
1311, 12fmptd 6527 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
14 subgrcl 17807 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
155, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
16 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1716subgss 17803 . . . . 5 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
185, 17syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
1916subgss 17803 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
206, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
21 pj1f.p . . . . 5 𝑃 = (proj1𝐺)
2216, 1, 2, 21pj1fval 18314 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
2315, 18, 20, 22syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈) = (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))))
2423feq1d 6170 . 2 (𝜑 → ((𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇 ↔ (𝑧 ∈ (𝑇 𝑈) ↦ (𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑧 = (𝑥 + 𝑦))):(𝑇 𝑈)⟶𝑇))
2513, 24mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑇𝑃𝑈):(𝑇 𝑈)⟶𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3063   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  {csn 4316   ↦ cmpt 4863  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  ℩crio 6753  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955  LSSumclsm 18256  proj1cpj1 18257 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-pj1 18259 This theorem is referenced by:  pj2f  18318  pj1id  18319  pj1eq  18320  pj1ghm  18323  pj1ghm2  18324  lsmhash  18325  dpjf  18664  pj1lmhm  19313  pj1lmhm2  19314  pjdm2  20272  pjf2  20275
 Copyright terms: Public domain W3C validator