MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pj1eu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pj1eu 18280
Description: Uniqueness of a left projection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pj1eu.a + = (+g𝐺)
pj1eu.s = (LSSum‘𝐺)
pj1eu.o 0 = (0g𝐺)
pj1eu.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
pj1eu.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.3 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pj1eu.4 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
pj1eu.5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
Assertion
Ref Expression
pj1eu ((𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥, ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   0 (𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pj1eu
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pj1eu.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 pj1eu.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pj1eu.a . . . . 5 + = (+g𝐺)
4 pj1eu.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
53, 4lsmelval 18235 . . . 4 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
61, 2, 5syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦)))
76biimpa 502 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
8 reeanv 3233 . . . . 5 (∃𝑦𝑈𝑣𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) ↔ (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
9 eqtr2 2768 . . . . . . 7 ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
10 pj1eu.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝐺)
11 pj1eu.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
121ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
132ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 pj1eu.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
1514ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → (𝑇𝑈) = { 0 })
16 pj1eu.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
1716ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
18 simplrl 819 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑥𝑇)
19 simplrr 820 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑢𝑇)
20 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑦𝑈)
21 simprr 813 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → 𝑣𝑈)
223, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21subgdisjb 18277 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) ↔ (𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣)))
23 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
2422, 23syl6bi 243 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → ((𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣) → 𝑥 = 𝑢))
259, 24syl5 34 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) ∧ (𝑦𝑈𝑣𝑈)) → ((𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
2625rexlimdvva 3164 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) → (∃𝑦𝑈𝑣𝑈 (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
278, 26syl5bir 233 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑢𝑇)) → ((∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
2827ralrimivva 3097 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑇𝑢𝑇 ((∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
2928adantr 472 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∀𝑥𝑇𝑢𝑇 ((∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢))
30 oveq1 6808 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑦))
3130eqeq2d 2758 . . . . 5 (𝑥 = 𝑢 → (𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
3231rexbidv 3178 . . . 4 (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦)))
33 oveq2 6809 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑣 → (𝑢 + 𝑦) = (𝑢 + 𝑣))
3433eqeq2d 2758 . . . . 5 (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
3534cbvrexv 3299 . . . 4 (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑦) ↔ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣))
3632, 35syl6bb 276 . . 3 (𝑥 = 𝑢 → (∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)))
3736reu4 3529 . 2 (∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∀𝑥𝑇𝑢𝑇 ((∃𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃𝑣𝑈 𝑋 = (𝑢 + 𝑣)) → 𝑥 = 𝑢)))
387, 29, 37sylanbrc 701 1 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑇 𝑈)) → ∃!𝑥𝑇𝑦𝑈 𝑋 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  ∃!wreu 3040  cin 3702  wss 3703  {csn 4309  cfv 6037  (class class class)co 6801  +gcplusg 16114  0gc0g 16273  SubGrpcsubg 17760  Cntzccntz 17919  LSSumclsm 18220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-subg 17763  df-cntz 17921  df-lsm 18222
This theorem is referenced by:  pj1f  18281  pj1id  18283
  Copyright terms: Public domain W3C validator