MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pire 24431
Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 24427 . . 3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
21simpli 476 . 2 π ∈ (2(,)4)
3 elioore 12419 . 2 (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 1 π ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wcel 2140  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  2c2 11283  4c4 11285  (,)cioo 12389  sincsin 15014  πcpi 15017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  picn  24432  pipos  24433  pirp  24434  sinhalfpilem  24436  halfpire  24437  sincosq1lem  24470  sincosq2sgn  24472  sincosq3sgn  24473  sincosq4sgn  24474  coseq00topi  24475  coseq0negpitopi  24476  tangtx  24478  sinq12gt0  24480  sinq12ge0  24481  sinq34lt0t  24482  cosq14gt0  24483  cosq14ge0  24484  sincos4thpi  24486  tan4thpi  24487  sincos6thpi  24488  pige3  24490  coskpi  24493  sineq0  24494  coseq1  24495  efeq1  24496  cosne0  24497  cosordlem  24498  cosord  24499  cos11  24500  sinord  24501  recosf1o  24502  resinf1o  24503  tanord1  24504  negpitopissre  24507  efif1olem1  24509  efif1olem2  24510  efif1olem4  24512  efif1o  24513  efifo  24514  eff1o  24516  ellogrn  24527  relogrn  24529  logimclad  24540  abslogimle  24541  logneg  24555  lognegb  24557  eflogeq  24569  logcj  24573  argregt0  24577  argrege0  24578  argimgt0  24579  argimlt0  24580  logimul  24581  logneg2  24582  abslogle  24585  logcnlem3  24611  dvloglem  24615  logf1o2  24617  efopnlem1  24623  efopnlem2  24624  cxpsqrtlem  24669  abscxpbnd  24715  root1eq1  24717  logreclem  24721  ang180lem1  24760  ang180lem2  24761  ang180lem3  24762  ang180lem4  24763  isosctrlem1  24769  1cubrlem  24789  asinneg  24834  asinsin  24840  asin1  24842  acosbnd  24848  atanlogaddlem  24861  atanlogsublem  24863  atanlogsub  24864  atantan  24871  atanbndlem  24873  atan1  24876  o1cxp  24922  lgamgulmlem4  24979  lgamgulmlem5  24980  lgamgulmlem6  24981  lgambdd  24984  basellem1  25028  basellem4  25031  basellem8  25035  basellem9  25036  circum  31897  logi  31949  bj-pinftyccb  33438  bj-minftyccb  33442  bj-pinftynminfty  33444  taupi  33499  sin2h  33731  cos2h  33732  tan2h  33733  pigt3  33734  proot1ex  38300  isosctrlem1ALT  39688  sineq0ALT  39691  negpilt0  40010  coseq0  40597  sinaover2ne0  40601  itgsin0pilem1  40687  itgsinexplem1  40691  itgsinexp  40692  wallispilem1  40804  wallispilem2  40805  wallispi  40809  stirlinglem15  40827  stirlingr  40829  dirker2re  40831  dirkerval2  40833  dirkerre  40834  dirkerper  40835  dirkertrigeqlem2  40838  dirkertrigeqlem3  40839  dirkertrigeq  40840  dirkeritg  40841  dirkercncflem1  40842  dirkercncflem2  40843  dirkercncflem4  40845  fourierdlem5  40851  fourierdlem9  40855  fourierdlem16  40862  fourierdlem18  40864  fourierdlem21  40867  fourierdlem22  40868  fourierdlem24  40870  fourierdlem38  40884  fourierdlem40  40886  fourierdlem43  40889  fourierdlem44  40890  fourierdlem46  40891  fourierdlem50  40895  fourierdlem58  40903  fourierdlem62  40907  fourierdlem66  40911  fourierdlem72  40917  fourierdlem74  40919  fourierdlem75  40920  fourierdlem76  40921  fourierdlem77  40922  fourierdlem78  40923  fourierdlem83  40928  fourierdlem85  40930  fourierdlem87  40932  fourierdlem88  40933  fourierdlem93  40938  fourierdlem94  40939  fourierdlem95  40940  fourierdlem101  40946  fourierdlem102  40947  fourierdlem103  40948  fourierdlem104  40949  fourierdlem111  40956  fourierdlem112  40957  fourierdlem113  40958  fourierdlem114  40959  sqwvfoura  40967  sqwvfourb  40968  fourierswlem  40969  fouriersw  40970  fouriercn  40971
  Copyright terms: Public domain W3C validator