Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimrecltneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimrecltneg 41254
Description: The preimage of an unbounded below, open interval, with negative upper bound, for the reciprocal function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimrecltneg.x 𝑥𝜑
pimrecltneg.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
pimrecltneg.n ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
pimrecltneg.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
pimrecltneg.l (𝜑𝐶 < 0)
Assertion
Ref Expression
pimrecltneg (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})

Proof of Theorem pimrecltneg
StepHypRef Expression
1 pimrecltneg.x . . 3 𝑥𝜑
2 rabidim1 3147 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥𝐴)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥𝐴)
4 1red 10093 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 pimrecltneg.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 pimrecltneg.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 < 0)
75, 6ltned 10211 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ≠ 0)
84, 5, 7redivcld 10891 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ)
98rexrd 10127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
109adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
11 0xr 10124 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ*)
13 pimrecltneg.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ℝ)
15 rabidim2 39598 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → (1 / 𝐵) < 𝐶)
1615adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
174adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 1 ∈ ℝ)
18 pimrecltneg.n . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
193, 18syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ≠ 0)
2014, 19rereccld 10890 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
215adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 ∈ ℝ)
22 0red 10079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 0 ∈ ℝ)
236adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐶 < 0)
2420, 21, 22, 16, 23lttrd 10236 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐵) < 0)
2514, 19reclt0 39927 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
2624, 25mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 < 0)
2717, 14, 26, 21, 23ltdiv23neg 39930 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → ((1 / 𝐵) < 𝐶 ↔ (1 / 𝐶) < 𝐵))
2816, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
2910, 12, 14, 28, 26eliood 40038 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
303, 29jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
31 rabid 3145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)))
3230, 31sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
3332ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
3431simplbi 475 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥𝐴)
3534adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥𝐴)
369adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) ∈ ℝ*)
3711a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 0 ∈ ℝ*)
3831simprbi 479 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0))
4036, 37, 39ioogtlbd 40095 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐶) < 𝐵)
414adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 1 ∈ ℝ)
425adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 ∈ ℝ)
436adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐶 < 0)
4435, 13syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 ∈ ℝ)
4536, 37, 39iooltubd 40089 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝐵 < 0)
4641, 42, 43, 44, 45ltdiv23neg 39930 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → ((1 / 𝐶) < 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) < 𝐶))
4740, 46mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (1 / 𝐵) < 𝐶)
4835, 47jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
49 rabid 3145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (1 / 𝐵) < 𝐶))
5048, 49sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶})
5150ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}))
5233, 51impbid 202 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
531, 52alrimi 2120 . 2 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
54 nfrab1 3152 . . 3 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶}
55 nfrab1 3152 . . 3 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}
5654, 55dfcleqf 39569 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)}))
5753, 56sylibr 224 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (1 / 𝐵) < 𝐶} = {𝑥𝐴𝐵 ∈ ((1 / 𝐶)(,)0)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111   < clt 10112   / cdiv 10722  (,)cioo 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-rp 11871  df-ioo 12217
This theorem is referenced by:  smfrec  41317
  Copyright terms: Public domain W3C validator