Theorem pimltmnf2 41232

Description: Given a real-valued function, the preimage of an open interval, unbounded below, with upper bound -∞, is the empty set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pimltmnf2.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
pimltmnf2.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
pimltmnf2	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem pimltmnf2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2793	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfcv 2793	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
3		nfv 1883	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐹‘𝑥) < -∞
4		pimltmnf2.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
5		nfcv 2793	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
6	4, 5	nffv 6236	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
7		nfcv 2793	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥 <
8		nfcv 2793	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥-∞
9	6, 7, 8	nfbr 4732	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) < -∞
10		fveq2 6229	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
11	10	breq1d 4695	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑥) < -∞ ↔ (𝐹‘𝑦) < -∞))
12	1, 2, 3, 9, 11	cbvrab 3229	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞}
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞})
14		mnfxr 10134	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
16		pimltmnf2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17	rexrd 10127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
19	17	mnfltd 11996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑦))
20	15, 18, 19	xrltled 39800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → -∞ ≤ (𝐹‘𝑦))
21	15, 18	xrlenltd 10142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (-∞ ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞))
22	20, 21	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
23	22	ralrimiva 2995	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
24		rabeq0 3990	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅ ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ (𝐹‘𝑦) < -∞)
25	23, 24	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑦) < -∞} = ∅)
26	13, 25	eqtrd 2685	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  {crab 2945  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  ℝcr 9973  -∞cmnf 10110  ℝ^*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118

This theorem is referenced by:  smfpimltxr  41277