Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pimiooltgt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pimiooltgt 41242
Description: The preimage of an open interval is the intersection of the preimage of an unbounded below open interval and an unbounded above open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimiooltgt.1 𝑥𝜑
pimiooltgt.2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimiooltgt.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
pimiooltgt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem pimiooltgt
StepHypRef Expression
1 pimiooltgt.1 . . . . 5 𝑥𝜑
2 pimiooltgt.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐿 ∈ ℝ*)
433adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 ∈ ℝ*)
5 pimiooltgt.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
65adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℝ*)
763adant3 1101 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
8 simp3 1083 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
9 iooltub 40053 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
104, 7, 8, 9syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐵 < 𝑅)
11103exp 1283 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅)))
121, 11ralrimi 2986 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
13 ss2rab 3711 . . . 4 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐵 < 𝑅))
1412, 13sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
15 ioogtlb 40035 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ ℝ*𝑅 ∈ ℝ*𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
164, 7, 8, 15syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)) → 𝐿 < 𝐵)
17163exp 1283 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵)))
181, 17ralrimi 2986 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
19 ss2rab 3711 . . . 4 ({𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅) → 𝐿 < 𝐵))
2018, 19sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
2114, 20ssind 3870 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ⊆ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
22 elinel1 3832 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅})
23 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ⊆ 𝐴
2423sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} → 𝑥𝐴)
2522, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥𝐴)
2625adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑥𝐴)
2726, 3syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 ∈ ℝ*)
2826, 6syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ∈ ℝ*)
29 pimiooltgt.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3026, 29syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
31 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ∈ ℝ*)
3327mnfled 39922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≤ 𝐿)
34 elinel2 3833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
35 rabidim2 39598 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} → 𝐿 < 𝐵)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝐿 < 𝐵)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐿 < 𝐵)
3832, 27, 30, 33, 37xrlelttrd 12029 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ < 𝐵)
3932, 30, 38xrltned 39886 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → -∞ ≠ 𝐵)
4039necomd 2878 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ -∞)
41 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → +∞ ∈ ℝ*)
43 rabidim2 39598 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} → 𝐵 < 𝑅)
4422, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝐵 < 𝑅)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < 𝑅)
46 pnfge 12002 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ ℝ*𝑅 ≤ +∞)
4728, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑅 ≤ +∞)
4830, 28, 42, 45, 47xrltletrd 12030 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 < +∞)
4930, 42, 48xrltned 39886 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ≠ +∞)
5030, 40, 49xrred 39894 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ ℝ)
5127, 28, 50, 37, 45eliood 40038 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅))
5226, 51jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
53 rabid 3145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ (𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)))
5452, 53sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
5554ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}))
561, 55ralrimi 2986 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
57 nfrab1 3152 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐵 < 𝑅}
58 nfrab1 3152 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}
5957, 58nfin 3853 . . . 4 𝑥({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
60 nfrab1 3152 . . . 4 𝑥{𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)}
6159, 60dfss3f 3628 . . 3 (({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} ↔ ∀𝑥 ∈ ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
6256, 61sylibr 224 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}) ⊆ {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)})
6321, 62eqssd 3653 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 ∈ (𝐿(,)𝑅)} = ({𝑥𝐴𝐵 < 𝑅} ∩ {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  41314
  Copyright terms: Public domain W3C validator