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Theorem pimincfltioo 41249
Description: Given a non decreasing function, the preimage of an unbounded below, open interval, when the supremum of the preimage does not belong to the preimage. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pimincfltioo.x 𝑥𝜑
pimincfltioo.h 𝑦𝜑
pimincfltioo.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
pimincfltioo.f (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
pimincfltioo.i (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
pimincfltioo.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
pimincfltioo.y 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
pimincfltioo.c 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
pimincfltioo.e (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
pimincfltioo.d 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
Assertion
Ref Expression
pimincfltioo (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pimincfltioo
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pimincfltioo.y . . . . . . 7 𝑌 = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
2 ssrab2 3720 . . . . . . 7 {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅} ⊆ 𝐴
31, 2eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑌𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
5 pimincfltioo.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
64, 5sstrd 3646 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
7 pimincfltioo.c . . . 4 𝑆 = sup(𝑌, ℝ*, < )
8 pimincfltioo.e . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑆𝑌)
9 pimincfltioo.d . . . 4 𝐼 = (-∞(,)𝑆)
106, 7, 8, 9ressioosup 40100 . . 3 (𝜑𝑌𝐼)
1110, 4ssind 3870 . 2 (𝜑𝑌 ⊆ (𝐼𝐴))
12 pimincfltioo.x . . . 4 𝑥𝜑
13 elinel2 3833 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐴)
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝐴)
15 mnfxr 10134 . . . . . . . . . . 11 -∞ ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → -∞ ∈ ℝ*)
17 ressxr 10121 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
186, 17syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ*)
1918supxrcld 39604 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sup(𝑌, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
207, 19syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
22 elinel1 3832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝐼)
2322, 9syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆))
25 iooltub 40053 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ*𝑆 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-∞(,)𝑆)) → 𝑥 < 𝑆)
2616, 21, 24, 25syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 < 𝑆)
2726adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 < 𝑆)
28 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅)
29 pimincfltioo.r . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
32 pimincfltioo.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
3433, 14ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
3631, 35xrlenltd 10142 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅))
3728, 36mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
38 pimincfltioo.h . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦𝜑
39 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑦 𝑥 ∈ (𝐼𝐴)
4038, 39nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦(𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴))
41 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)
4240, 41nfan 1868 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
43 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4443breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) < 𝑅 ↔ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4544, 1elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝑌 ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4645biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑌 → (𝑦𝐴 ∧ (𝐹𝑦) < 𝑅))
4746simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑌 → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
4948ad5ant14 1334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) < 𝑅)
505adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5150, 14sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5251ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
536sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
5453ad5ant14 1334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
55 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ 𝑦𝑥)
5651ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
5753ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
5955, 58mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6059adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥 < 𝑦)
6152, 54, 60ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → 𝑥𝑦)
6230ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ∈ ℝ*)
6334ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
6432adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
654sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦𝑌) → 𝑦𝐴)
6664, 65ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦𝑌) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
6766ad5ant14 1334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
68 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑥))
69 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑤(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
70 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦)
71 pimincfltioo.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
72 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑧𝑥𝑧))
73 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑤) = (𝐹𝑥))
7473breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)))
7572, 74imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧))))
76 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥𝑧𝑥𝑦))
77 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 = 𝑦 → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑦))
7877breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧) ↔ (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
7976, 78imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑥𝑧 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))))
8075, 79cbvral2v 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦 → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦)))
8171, 80sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8281ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ∀𝑤𝐴𝑧𝐴 (𝑤𝑧 → (𝐹𝑤) ≤ (𝐹𝑧)))
8314ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
8465ad4ant13 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑦𝐴)
85 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝑦)
8669, 70, 82, 83, 84, 85dmrelrnrel 39733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8786adantllr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑦))
8862, 63, 67, 68, 87xrletrd 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑅 ≤ (𝐹𝑦))
8962, 67xrlenltd 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑅 ≤ (𝐹𝑦) ↔ ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅))
9088, 89mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ 𝑥𝑦) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9161, 90syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ¬ (𝐹𝑦) < 𝑅)
9249, 91condan 852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑥)
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → (𝑦𝑌𝑦𝑥))
9442, 93ralrimi 2986 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ 𝑅 ≤ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9537, 94syldan 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥)
9618adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑌 ⊆ ℝ*)
9717, 51sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
98 supxrleub 12194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
9996, 97, 98syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦𝑌 𝑦𝑥))
10195, 100mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → sup(𝑌, ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
1027, 101syl5eqbr 4720 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆𝑥)
10321adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑆 ∈ ℝ*)
10497adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → 𝑥 ∈ ℝ*)
105103, 104xrlenltd 10142 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → (𝑆𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑆))
106102, 105mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) ∧ ¬ (𝐹𝑥) < 𝑅) → ¬ 𝑥 < 𝑆)
10727, 106condan 852 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝐹𝑥) < 𝑅)
10814, 107jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
1091rabeq2i 3228 . . . . . 6 (𝑥𝑌 ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) < 𝑅))
110108, 109sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐴)) → 𝑥𝑌)
111110ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐼𝐴) → 𝑥𝑌))
11212, 111ralrimi 2986 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
113 nfcv 2793 . . . 4 𝑥(𝐼𝐴)
114 nfrab1 3152 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑅}
1151, 114nfcxfr 2791 . . . 4 𝑥𝑌
116113, 115dfss3f 3628 . . 3 ((𝐼𝐴) ⊆ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝐴)𝑥𝑌)
117112, 116sylibr 224 . 2 (𝜑 → (𝐼𝐴) ⊆ 𝑌)
11811, 117eqssd 3653 1 (𝜑𝑌 = (𝐼𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  cr 9973  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-ioo 12217
This theorem is referenced by:  incsmflem  41271
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