Theorem pilem3 24377

Description: Lemma for pire 24380, pigt2lt4 24378 and sinpi 24379. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11253	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		4re 11260	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5		0re 10203	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
7		2lt4 11361	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < 4)
9		iccssre 12419	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
10	1, 3, 9	mp2an 710	. . . . . 6 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℝ
11		ax-resscn 10156	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstri 3741	. . . . 5 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℂ
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
14		sincn 24368	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	10	sseli 3728	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	resincld 15043	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
19		sin4lt0 15095	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) < 0
20		sincos2sgn 15094	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
21	20	simpli 476	. . . . . 6 ⊢ 0 < (sin‘2)
22	19, 21	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
24	2, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23	ivth2 23395	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
25	24	trud 1630	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
26		df-pi 14973	. . . . . . 7 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
27		elioore 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
28	27	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
30	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
31		2pos 11275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
33		eliooord 12397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 4))
34	33	simpld 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
35	34	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
36	29, 30, 28, 32, 35	lttrd 10361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
37	28, 36	elrpd 12033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
38		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
39		pilem1 24375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
40	37, 38, 39	sylanbrc 701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
41		inss1 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
42		rpssre 12007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
43	41, 42	sstri 3741	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
44	41	sseli 3728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
45	44	rpge0d 12040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
46	45	rgen 3048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
47		breq1 4795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
48	47	ralbidv 3112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
49	48	rspcev 3437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
50	5, 46, 49	mp2an 710	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧
51		infrelb 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
52	43, 50, 51	mp3an12 1551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
53	40, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
54	26, 53	syl5eqbr 4827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
55		simplll 815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
56		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
57		pilem1 24375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
59	58	simpld 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
60		simpllr 817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
61	58	simprd 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
62		simplr 809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → π < 𝑥)
63	55, 59, 60, 61, 62	pilem2 24376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
64	63	ralrimiva 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
65	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
66		ne0i 4052	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
67	40, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
68	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
69	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
70		infrecl 11168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
71	43, 50, 70	mp3an13 1552	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
72	67, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
73	26, 72	syl5eqel 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
74	73, 28	readdcld 10232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
75	74	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
76	75	rehalfcld 11442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
77		infregelb 11170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
78	65, 68, 69, 76, 77	syl31anc 1466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
79	64, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
80	79, 26	syl6breqr 4834	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
81	80	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π))
82	73, 28	ltnled 10347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ π))
83	73	recnd 10231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
84	28	recnd 10231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
85	83, 84	addcomd 10401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
86	85	oveq1d 6816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
87	86	breq1d 4802	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
88		avgle2 11436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
89	28, 73, 88	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
90	87, 89	bitr4d 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
91	81, 82, 90	3imtr3d 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (¬ 𝑥 ≤ π → 𝑥 ≤ π))
92	91	pm2.18d 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
93	73, 28	letri3d 10342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ π)))
94	54, 92, 93	mpbir2and 995	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
95		simpl 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
96	94, 95	eqeltrd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
97	94	fveq2d 6344	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
98	97, 38	eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
99	96, 98	jca 555	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
100	99	rexlimiva 3154	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
101	25, 100	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1620  ⊤wtru 1621   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  ∀wral 3038  ∃wrex 3039   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  {csn 4309   class class class wbr 4792  ^◡ccnv 5253   “ cima 5257  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  infcinf 8500  ℂcc 10097  ℝcr 10098  0cc0 10099   + caddc 10102   < clt 10237   ≤ cle 10238   / cdiv 10847  2c2 11233  4c4 11235  ℝ⁺crp 11996  (,)cioo 12339  [,]cicc 12342  sincsin 14964  cosccos 14965  πcpi 14967  –cn→ccncf 22851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971  df-pi 14973  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-submnd 17508  df-mulg 17713  df-cntz 17921  df-cmn 18366  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-cnfld 19920  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-lp 21113  df-perf 21114  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-cncf 22853  df-limc 23800  df-dv 23801

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  24378  sinpi  24379  pire  24380