Theorem pilem3 24145

Description: Lemma for pire 24148, pigt2lt4 24146 and sinpi 24147. Existence part. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11050	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3		4re 11057	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5		0re 10000	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
7		2lt4 11158	. . . . 5 ⊢ 2 < 4
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 < 4)
9		iccssre 12213	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
10	1, 3, 9	mp2an 707	. . . . . 6 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℝ
11		ax-resscn 9953	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
12	10, 11	sstri 3597	. . . . 5 ⊢ (2[,]4) ⊆ ℂ
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
14		sincn 24136	. . . . 5 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
15	14	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	10	sseli 3584	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
17	16	resincld 14817	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
19		sin4lt0 14869	. . . . . 6 ⊢ (sin‘4) < 0
20		sincos2sgn 14868	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
21	20	simpli 474	. . . . . 6 ⊢ 0 < (sin‘2)
22	19, 21	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
24	2, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23	ivth2 23164	. . 3 ⊢ (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
25	24	trud 1490	. 2 ⊢ ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
26		df-pi 14747	. . . . . . 7 ⊢ π = inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < )
27		elioore 12163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
29	5	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
30	1	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
31		2pos 11072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
33		eliooord 12191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 4))
34	33	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
36	29, 30, 28, 32, 35	lttrd 10158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
37	28, 36	elrpd 11829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
38		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
39		pilem1 24143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
40	37, 38, 39	sylanbrc 697	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
41		inss1 3817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ+
42		rpssre 11803	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
43	41, 42	sstri 3597	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ
44	41	sseli 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
45	44	rpge0d 11836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
46	45	rgen 2918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
47		breq1 4626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
48	47	ralbidv 2982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
49	48	rspcev 3299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
50	5, 46, 49	mp2an 707	. . . . . . . . 9 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧
51		infrelb 10968	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧 ∧ 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
52	43, 50, 51	mp3an12 1411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
53	40, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
54	26, 53	syl5eqbr 4658	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
55		simplll 797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})))
57		pilem1 24143	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
58	56, 57	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
59	58	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
60		simpllr 798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
61	58	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
62		simplr 791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → π < 𝑥)
63	55, 59, 60, 61, 62	pilem2 24144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
64	63	ralrimiva 2962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
65	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ)
66		ne0i 3903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
67	40, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅)
69	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧)
70		infrecl 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
71	43, 50, 70	mp3an13 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
72	67, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
73	26, 72	syl5eqel 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
74	73, 28	readdcld 10029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
76	75	rehalfcld 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
77		infregelb 10967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))𝑦 ≤ 𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
78	65, 68, 69, 76, 77	syl31anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (◡sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
79	64, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (◡sin “ {0})), ℝ, < ))
80	79, 26	syl6breqr 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
81	80	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π))
82	73, 28	ltnled 10144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ π))
83	73	recnd 10028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
84	28	recnd 10028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
85	83, 84	addcomd 10198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
86	85	oveq1d 6630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
87	86	breq1d 4633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
88		avgle2 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
89	28, 73, 88	syl2anc 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
90	87, 89	bitr4d 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
91	81, 82, 90	3imtr3d 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (¬ 𝑥 ≤ π → 𝑥 ≤ π))
92	91	pm2.18d 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
93	73, 28	letri3d 10139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ π)))
94	54, 92, 93	mpbir2and 956	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
95		simpl 473	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
96	94, 95	eqeltrd 2698	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
97	94	fveq2d 6162	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
98	97, 38	eqtrd 2655	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
99	96, 98	jca 554	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
100	99	rexlimiva 3023	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
101	25, 100	ax-mp 5	1 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ⊤wtru 1481   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2908  ∃wrex 2909   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623  ^◡ccnv 5083   “ cima 5087  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  infcinf 8307  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896   + caddc 9899   < clt 10034   ≤ cle 10035   / cdiv 10644  2c2 11030  4c4 11032  ℝ⁺crp 11792  (,)cioo 12133  [,]cicc 12136  sincsin 14738  cosccos 14739  πcpi 14741  –cn→ccncf 22619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  24146  sinpi  24147  pire  24148