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Theorem pilem2 24251
Description: Lemma for pire 24255, pigt2lt4 24253 and sinpi 24254. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pilem.1 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
pilem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pilem.3 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
pilem.4 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
pilem.5 (𝜑 → π < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pilem2 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem pilem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-pi 14847 . . . 4 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
2 inss1 3866 . . . . . . 7 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ+
3 rpssre 11881 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
42, 3sstri 3645 . . . . . 6 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ)
6 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
72sseli 3632 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑦 ∈ ℝ+)
87rpge0d 11914 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑦)
98rgen 2951 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦
10 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
1110ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦))
1211rspcev 3340 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
136, 9, 12mp2an 708 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦)
15 2re 11128 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
16 pilem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1716rpred 11910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
18 remulcl 10059 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
1915, 17, 18sylancr 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
20 pilem.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (2(,)4))
21 elioore 12243 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (2(,)4) → 𝐴 ∈ ℝ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 10496 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ)
24 4re 11135 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ∈ ℝ)
26 eliooord 12271 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2720, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 < 𝐴𝐴 < 4))
2827simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 4)
29 2t2e4 11215 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3015a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
31 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
32 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 < 2)
3427simpld 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 2 < 𝐴)
3531, 30, 22, 33, 34lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3622, 35elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
37 pilem.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (sin‘𝐴) = 0)
38 pilem1 24250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐴) = 0))
3936, 37, 38sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
40 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
42 infrecl 11043 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
434, 13, 42mp3an13 1455 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
4441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
45 pilem1 24250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
46 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 letric 10175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
4915, 47, 48sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
5049ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2))
5146ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ ℝ)
52 rpgt0 11882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑥)
5352ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < 𝑥)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ≤ 2)
55 0xr 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ℝ*
56 elioc2 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2)))
5755, 15, 56mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0(,]2) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥𝑥 ≤ 2))
5851, 53, 54, 57syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 𝑥 ∈ (0(,]2))
59 sin02gt0 14966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘𝑥))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → 0 < (sin‘𝑥))
6160gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ≤ 2) → (sin‘𝑥) ≠ 0)
6261ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ≤ 2 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6350, 62syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (¬ 2 ≤ 𝑥 → (sin‘𝑥) ≠ 0))
6463necon4bd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((sin‘𝑥) = 0 → 2 ≤ 𝑥))
6564expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ≤ 𝑥))
6645, 65syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 2 ≤ 𝑥))
6766ralrimiv 2994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥)
68 infregelb 11045 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦) ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
695, 41, 14, 30, 68syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))2 ≤ 𝑥))
7067, 69mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ))
71 pilem.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘𝐵) = 0)
72 pilem1 24250 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝐵) = 0))
7316, 71, 72sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
74 infrelb 11046 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦𝐵 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
755, 14, 73, 74syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝐵)
7630, 44, 17, 70, 75letrd 10232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ 𝐵)
7715, 32pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
79 lemul2 10914 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
8030, 17, 78, 79syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ 𝐵 ↔ (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵)))
8176, 80mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 2) ≤ (2 · 𝐵))
8229, 81syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 4 ≤ (2 · 𝐵))
8322, 25, 19, 28, 82ltletrd 10235 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < (2 · 𝐵))
8422, 19posdifd 10652 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < (2 · 𝐵) ↔ 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
8583, 84mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((2 · 𝐵) − 𝐴))
8623, 85elrpd 11907 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+)
8719recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
8822recnd 10106 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
89 sinsub 14942 . . . . . . . 8 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
9087, 88, 89syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))))
9117recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
92 sin2t 14951 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ ℂ → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))))
9471oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = (0 · (cos‘𝐵)))
9591coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℂ)
9695mul02d 10272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐵)) = 0)
9794, 96eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵)) = 0)
9897oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = (2 · 0))
99 2t0e0 11221 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · 0) = 0
10098, 99syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((sin‘𝐵) · (cos‘𝐵))) = 0)
10193, 100eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (sin‘(2 · 𝐵)) = 0)
102101oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = (0 · (cos‘𝐴)))
10388coscld 14905 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
104103mul02d 10272 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 · (cos‘𝐴)) = 0)
105102, 104eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) = 0)
10637oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0))
10787coscld 14905 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (cos‘(2 · 𝐵)) ∈ ℂ)
108107mul01d 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · 0) = 0)
109106, 108eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴)) = 0)
110105, 109oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = (0 − 0))
111 0m0e0 11168 . . . . . . . 8 (0 − 0) = 0
112110, 111syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘(2 · 𝐵)) · (cos‘𝐴)) − ((cos‘(2 · 𝐵)) · (sin‘𝐴))) = 0)
11390, 112eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0)
114 pilem1 24250 . . . . . 6 (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ ℝ+ ∧ (sin‘((2 · 𝐵) − 𝐴)) = 0))
11586, 113, 114sylanbrc 699 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
116 infrelb 11046 . . . . 5 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑥𝑦 ∧ ((2 · 𝐵) − 𝐴) ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1175, 14, 115, 116syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1181, 117syl5eqbr 4720 . . 3 (𝜑 → π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴))
1191, 44syl5eqel 2734 . . . 4 (𝜑 → π ∈ ℝ)
120 leaddsub 10542 . . . 4 ((π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐵) ∈ ℝ) → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
121119, 22, 19, 120syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵) ↔ π ≤ ((2 · 𝐵) − 𝐴)))
122118, 121mpbird 247 . 2 (𝜑 → (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵))
123119, 22readdcld 10107 . . 3 (𝜑 → (π + 𝐴) ∈ ℝ)
124 ledivmul 10937 . . 3 (((π + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
125123, 17, 78, 124syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵 ↔ (π + 𝐴) ≤ (2 · 𝐵)))
126122, 125mpbird 247 1 (𝜑 → ((π + 𝐴) / 2) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  ccnv 5142  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690  infcinf 8388  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  4c4 11110  +crp 11870  (,)cioo 12213  (,]cioc 12214  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847
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