MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pige3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pige3 24314
Description: π is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter . We translate this to algebra by looking at the function e↑(i𝑥) as 𝑥 goes from 0 to π / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 ≤ π / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
pige3 3 ≤ π

Proof of Theorem pige3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cn 11133 . . 3 3 ∈ ℂ
21mulid2i 10081 . 2 (1 · 3) = 3
3 tru 1527 . . . . . 6
4 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
5 pirp 24258 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
6 3re 11132 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
7 3pos 11152 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
86, 7elrpii 11873 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ+
9 rpdivcl 11894 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (π / 3) ∈ ℝ+)
105, 8, 9mp2an 708 . . . . . . . . 9 (π / 3) ∈ ℝ+
11 rpxr 11878 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → (π / 3) ∈ ℝ*)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ*
13 rpge0 11883 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 3))
1410, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≤ (π / 3)
15 lbicc2 12326 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → 0 ∈ (0[,](π / 3)))
164, 12, 14, 15mp3an 1464 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,](π / 3))
17 ubicc2 12327 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 3) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
184, 12, 14, 17mp3an 1464 . . . . . . 7 (π / 3) ∈ (0[,](π / 3))
1916, 18pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))
20 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
22 pire 24255 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
23 3ne0 11153 . . . . . . . . 9 3 ≠ 0
2422, 6, 23redivcli 10830 . . . . . . . 8 (π / 3) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (π / 3) ∈ ℝ)
26 efcn 24242 . . . . . . . . 9 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
28 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
2920, 24, 28mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ
30 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
3129, 30sstri 3645 . . . . . . . . . 10 (0[,](π / 3)) ⊆ ℂ
32 resmpt 5484 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)))
34 ssid 3657 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
36 ax-icn 10033 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ ℂ
37 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
38 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . . 13 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (i · 𝑥) ∈ ℂ)
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))
4139, 40fmptd 6425 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ)
42 cnelprrecn 10067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
44 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
4643dvmptid 23765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1))
4736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → i ∈ ℂ)
4843, 37, 45, 46, 47dvmptcmul 23772 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)))
4936mulid1i 10080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · 1) = i
5049mpteq2i 4774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 1)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5148, 50syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5251dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i))
5336elexi 3244 . . . . . . . . . . . . 13 i ∈ V
54 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ i)
5553, 54dmmpti 6061 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝑥 ∈ ℂ ↦ i) = ℂ
5652, 55syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ)
57 dvcn 23729 . . . . . . . . . . 11 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)):ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) ∧ dom (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥))) = ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5835, 41, 35, 56, 57syl31anc 1369 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
59 rescncf 22747 . . . . . . . . . 10 ((0[,](π / 3)) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ)))
6031, 58, 59mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (i · 𝑥)) ↾ (0[,](π / 3))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
6133, 60eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (i · 𝑥)) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
6227, 61cncfmpt1f 22763 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) ∈ ((0[,](π / 3))–cn→ℂ))
63 reelprrecn 10066 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
6463a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
65 recn 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
66 efcl 14857 . . . . . . . . . . . 12 ((i · 𝑥) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6739, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
6865, 67sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ)
69 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . 12 (((exp‘(i · 𝑥)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
7067, 36, 69sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
7165, 70sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ ℂ)
72 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7372cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
74 toponmax 20778 . . . . . . . . . . . 12 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
7630a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
77 df-ss 3621 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7876, 77sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
7936a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → i ∈ ℂ)
80 efcl 14857 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
82 dvef 23788 . . . . . . . . . . . . 13 (ℂ D exp) = exp
83 eff 14856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 exp:ℂ⟶ℂ
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
8584feqmptd 6288 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → exp = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
8685oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℂ D exp) = (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))))
8782, 86, 853eqtr3a 2709 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (exp‘𝑦)))
88 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (i · 𝑥) → (exp‘𝑦) = (exp‘(i · 𝑥)))
8943, 43, 39, 79, 81, 81, 51, 87, 88, 88dvmptco 23780 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9072, 64, 75, 78, 67, 70, 89dvmptres3 23764 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9129a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (0[,](π / 3)) ⊆ ℝ)
9272tgioo2 22653 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93 iccntr 22671 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 3) ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9420, 25, 93sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,](π / 3))) = (0(,)(π / 3)))
9564, 68, 71, 90, 91, 92, 72, 94dvmptres2 23770 . . . . . . . . 9 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
9695dmeqd 5358 . . . . . . . 8 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)))
97 ovex 6718 . . . . . . . . 9 ((exp‘(i · 𝑥)) · i) ∈ V
98 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))
9997, 98dmmpti 6061 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i)) = (0(,)(π / 3))
10096, 99syl6eq 2701 . . . . . . 7 (⊤ → dom (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))) = (0(,)(π / 3)))
101 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
102101a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
10395fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦))
104 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (i · 𝑥) = (i · 𝑦))
105104fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · 𝑦)))
106105oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘(i · 𝑥)) · i) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
107106, 98, 97fvmpt3i 6326 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (0(,)(π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0(,)(π / 3)) ↦ ((exp‘(i · 𝑥)) · i))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
108103, 107sylan9eq 2705 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦) = ((exp‘(i · 𝑦)) · i))
109108fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)))
110 ioossre 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (0(,)(π / 3)) ⊆ ℝ)
112111sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℝ)
113112recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → 𝑦 ∈ ℂ)
114 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
11536, 113, 114sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
116 efcl 14857 . . . . . . . . . . 11 ((i · 𝑦) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ)
118 absmul 14078 . . . . . . . . . 10 (((exp‘(i · 𝑦)) ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
119117, 36, 118sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((exp‘(i · 𝑦)) · i)) = ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)))
120 absefi 14970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
121112, 120syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘(exp‘(i · 𝑦))) = 1)
122 absi 14070 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘i) = 1
123122a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘i) = 1)
124121, 123oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = (1 · 1))
12544mulid1i 10080 . . . . . . . . . 10 (1 · 1) = 1
126124, 125syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → ((abs‘(exp‘(i · 𝑦))) · (abs‘i)) = 1)
127109, 119, 1263eqtrd 2689 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) = 1)
128 1le1 10693 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
129127, 128syl6eqbr 4724 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (0(,)(π / 3))) → (abs‘((ℝ D (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))))‘𝑦)) ≤ 1)
13021, 25, 62, 100, 102, 129dvlip 23801 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (0 ∈ (0[,](π / 3)) ∧ (π / 3) ∈ (0[,](π / 3)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))))
1313, 19, 130mp2an 708 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) ≤ (1 · (abs‘(0 − (π / 3))))
132 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = (i · 0))
133 it0e0 11292 . . . . . . . . . . . . 13 (i · 0) = 0
134132, 133syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (i · 𝑥) = 0)
135134fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘0))
136 ef0 14865 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
137135, 136syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 0 → (exp‘(i · 𝑥)) = 1)
138 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))
139 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (exp‘(i · 𝑥)) ∈ V
140137, 138, 139fvmpt3i 6326 . . . . . . . . 9 (0 ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1)
14116, 140ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) = 1
142 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (π / 3) → (i · 𝑥) = (i · (π / 3)))
143142fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (π / 3) → (exp‘(i · 𝑥)) = (exp‘(i · (π / 3))))
144143, 138, 139fvmpt3i 6326 . . . . . . . . 9 ((π / 3) ∈ (0[,](π / 3)) → ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3))))
14518, 144ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)) = (exp‘(i · (π / 3)))
146141, 145oveq12i 6702 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (1 − (exp‘(i · (π / 3))))
14724recni 10090 . . . . . . . . . 10 (π / 3) ∈ ℂ
14836, 147mulcli 10083 . . . . . . . . 9 (i · (π / 3)) ∈ ℂ
149 efcl 14857 . . . . . . . . 9 ((i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ)
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(i · (π / 3))) ∈ ℂ
151 negicn 10320 . . . . . . . . . 10 -i ∈ ℂ
152151, 147mulcli 10083 . . . . . . . . 9 (-i · (π / 3)) ∈ ℂ
153 efcl 14857 . . . . . . . . 9 ((-i · (π / 3)) ∈ ℂ → (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ)
154152, 153ax-mp 5 . . . . . . . 8 (exp‘(-i · (π / 3))) ∈ ℂ
155 cosval 14897 . . . . . . . . . . 11 ((π / 3) ∈ ℂ → (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2))
156147, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2)
157 sincos3rdpi 24313 . . . . . . . . . . 11 ((sin‘(π / 3)) = ((√‘3) / 2) ∧ (cos‘(π / 3)) = (1 / 2))
158157simpri 477 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 3)) = (1 / 2)
159156, 158eqtr3i 2675 . . . . . . . . 9 (((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2)
160150, 154addcli 10082 . . . . . . . . . 10 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) ∈ ℂ
161 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
162 2ne0 11151 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
163160, 44, 161, 162div11i 10822 . . . . . . . . 9 ((((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) / 2) = (1 / 2) ↔ ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1)
164159, 163mpbi 220 . . . . . . . 8 ((exp‘(i · (π / 3))) + (exp‘(-i · (π / 3)))) = 1
16544, 150, 154, 164subaddrii 10408 . . . . . . 7 (1 − (exp‘(i · (π / 3)))) = (exp‘(-i · (π / 3)))
166 mulneg12 10506 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ (π / 3) ∈ ℂ) → (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3)))
16736, 147, 166mp2an 708 . . . . . . . 8 (-i · (π / 3)) = (i · -(π / 3))
168167fveq2i 6232 . . . . . . 7 (exp‘(-i · (π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
169146, 165, 1683eqtri 2677 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3))) = (exp‘(i · -(π / 3)))
170169fveq2i 6232 . . . . 5 (abs‘(((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘0) − ((𝑥 ∈ (0[,](π / 3)) ↦ (exp‘(i · 𝑥)))‘(π / 3)))) = (abs‘(exp‘(i · -(π / 3))))
171147absnegi 14183 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(π / 3))
172 df-neg 10307 . . . . . . . . 9 -(π / 3) = (0 − (π / 3))
173172fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (abs‘-(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
174171, 173eqtr3i 2675 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (abs‘(0 − (π / 3)))
175 rprege0 11885 . . . . . . . 8 ((π / 3) ∈ ℝ+ → ((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)))
176 absid 14080 . . . . . . . 8 (((π / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (π / 3)) → (abs‘(π / 3)) = (π / 3))
17710, 175, 176mp2b 10 . . . . . . 7 (abs‘(π / 3)) = (π / 3)
178174, 177eqtr3i 2675 . . . . . 6 (abs‘(0 − (π / 3))) = (π / 3)
179178oveq2i 6701 . . . . 5 (1 · (abs‘(0 − (π / 3)))) = (1 · (π / 3))
180131, 170, 1793brtr3i 4714 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) ≤ (1 · (π / 3))
18124renegcli 10380 . . . . 5 -(π / 3) ∈ ℝ
182 absefi 14970 . . . . 5 (-(π / 3) ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1)
183181, 182ax-mp 5 . . . 4 (abs‘(exp‘(i · -(π / 3)))) = 1
184147mulid2i 10081 . . . 4 (1 · (π / 3)) = (π / 3)
185180, 183, 1843brtr3i 4714 . . 3 1 ≤ (π / 3)
1866, 7pm3.2i 470 . . . 4 (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
187 lemuldiv 10941 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3)))
188101, 22, 186, 187mp3an 1464 . . 3 ((1 · 3) ≤ π ↔ 1 ≤ (π / 3))
189185, 188mpbir 221 . 2 (1 · 3) ≤ π
1902, 189eqbrtrri 4708 1 3 ≤ π
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  cin 3606  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  3c3 11109  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  csqrt 14017  abscabs 14018  expce 14836  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  TopOnctopon 20763  intcnt 20869  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator