MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrval 23046
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.i (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfrval.1 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
pi1xfrval.2 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
pi1xfrval.a (𝜑𝐴 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrval (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐼   𝐴,𝑔   𝜑,𝑔   𝑔,𝐽   𝑃,𝑔   𝑄,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1xfrval
StepHypRef Expression
1 pi1xfrval.a . 2 (𝜑𝐴 𝐵)
2 pi1xfr.g . . 3 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
3 fvex 6354 . . . 4 ( ≃ph𝐽) ∈ V
4 ecexg 7907 . . . 4 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑔 𝐵) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
6 ecexg 7907 . . . 4 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
73, 6mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑔 𝐵) → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
8 eceq1 7941 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → [𝑔]( ≃ph𝐽) = [𝐴]( ≃ph𝐽))
9 oveq1 6812 . . . . 5 (𝑔 = 𝐴 → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))
109oveq2d 6821 . . . 4 (𝑔 = 𝐴 → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹)))
1110eceq1d 7942 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
12 pi1xfr.p . . . . 5 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
13 pi1xfr.q . . . . 5 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
14 pi1xfr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
15 pi1xfr.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 pi1xfr.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
17 pi1xfrval.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
18 pi1xfrval.1 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐼‘0))
19 pi1xfrval.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
2012, 13, 14, 2, 15, 16, 17, 18, 19pi1xfrf 23045 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄))
21 ffun 6201 . . . 4 (𝐺:𝐵⟶(Base‘𝑄) → Fun 𝐺)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐺)
232, 5, 7, 8, 11, 22fliftval 6721 . 2 ((𝜑𝐴 𝐵) → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
241, 23mpdan 705 1 (𝜑 → (𝐺‘[𝐴]( ≃ph𝐽)) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝐴(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  cop 4319   cuni 4580  cmpt 4873  ran crn 5259  Fun wfun 6035  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  [cec 7901  0cc0 10120  1c1 10121  Basecbs 16051  TopOnctopon 20909   Cn ccn 21222  IIcii 22871  phcphtpc 22961  *𝑝cpco 22992   π1 cpi1 22995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-qus 16363  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-ii 22873  df-htpy 22962  df-phtpy 22963  df-phtpc 22984  df-pco 22997  df-om1 22998  df-pi1 23000
This theorem is referenced by:  pi1xfr  23047
  Copyright terms: Public domain W3C validator