MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1xfrcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1xfrcnv 22978
Description: Given a path 𝐹 between two basepoints, there is an induced group homomorphism on the fundamental groups. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1xfr.p 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
pi1xfr.q 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
pi1xfr.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
pi1xfr.g 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
pi1xfr.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1xfr.f (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
pi1xfr.i 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
pi1xfrcnv.h 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
Assertion
Ref Expression
pi1xfrcnv (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Distinct variable groups:   𝑔,,𝑥,𝐵   𝑔,𝐹,,𝑥   𝑔,𝐼,,𝑥   ,𝐺   𝜑,𝑔,,𝑥   𝑔,𝐽,,𝑥   𝑃,𝑔,,𝑥   𝑄,𝑔,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑔,)   𝑋(𝑥,𝑔,)

Proof of Theorem pi1xfrcnv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pi1xfr.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
2 pi1xfr.q . . . 4 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
3 pi1xfr.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑃)
4 pi1xfr.g . . . 4 𝐺 = ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩)
5 pi1xfr.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 pi1xfr.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
7 pi1xfr.i . . . 4 𝐼 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘(1 − 𝑥)))
8 pi1xfrcnv.h . . . 4 𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8pi1xfrcnvlem 22977 . . 3 (𝜑𝐺𝐻)
10 fvex 6314 . . . . . . . 8 ( ≃ph𝐽) ∈ V
11 ecexg 7866 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
1210, 11mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → []( ≃ph𝐽) ∈ V)
13 ecexg 7866 . . . . . . . 8 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
1410, 13mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑 (Base‘𝑄)) → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) ∈ V)
158, 12, 14fliftrel 6673 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ⊆ (V × V))
16 df-rel 5225 . . . . . 6 (Rel 𝐻𝐻 ⊆ (V × V))
1715, 16sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝐻)
18 dfrel2 5693 . . . . 5 (Rel 𝐻𝐻 = 𝐻)
1917, 18sylib 208 . . . 4 (𝜑𝐻 = 𝐻)
20 0elunit 12404 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
21 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = (1 − 0))
22 1m0e1 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
2321, 22syl6eq 2774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 0 → (1 − 𝑥) = 1)
2423fveq2d 6308 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 0 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘1))
25 fvex 6314 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘1) ∈ V
2624, 7, 25fvmpt 6396 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘0) = (𝐹‘1))
2720, 26ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘0) = (𝐹‘1)
2827oveq2i 6776 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘0)) = (𝐽 π1 (𝐹‘1))
292, 28eqtr4i 2749 . . . . . . 7 𝑄 = (𝐽 π1 (𝐼‘0))
30 1elunit 12405 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0[,]1)
31 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (1 − 𝑥) = (1 − 1))
3231fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − 1)))
33 1m1e0 11202 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 1) = 0
3433fveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘(1 − 1)) = (𝐹‘0)
3532, 34syl6eq 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘0))
36 fvex 6314 . . . . . . . . . . 11 (𝐹‘0) ∈ V
3735, 7, 36fvmpt 6396 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘1) = (𝐹‘0))
3830, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐼‘1) = (𝐹‘0)
3938oveq2i 6776 . . . . . . . 8 (𝐽 π1 (𝐼‘1)) = (𝐽 π1 (𝐹‘0))
401, 39eqtr4i 2749 . . . . . . 7 𝑃 = (𝐽 π1 (𝐼‘1))
41 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
42 eqid 2724 . . . . . . 7 ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
437pcorevcl 22946 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
446, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐼‘0) = (𝐹‘1) ∧ (𝐼‘1) = (𝐹‘0)))
4544simp1d 1134 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ (II Cn 𝐽))
46 oveq2 6773 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (1 − 𝑧) = (1 − 𝑦))
4746fveq2d 6308 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐼‘(1 − 𝑦)))
4847cbvmptv 4858 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑦)))
49 eqid 2724 . . . . . . 7 ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
5029, 40, 41, 42, 5, 45, 48, 49pi1xfrcnvlem 22977 . . . . . 6 (𝜑ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ⊆ ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
51 iitopon 22804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
53 cnf2 21176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽)) → 𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5452, 5, 6, 53syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:(0[,]1)⟶𝑋)
5554feqmptd 6363 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧)))
56 iirev 22850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑧) ∈ (0[,]1))
57 oveq2 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (1 − 𝑥) = (1 − (1 − 𝑧)))
5857fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (1 − 𝑧) → (𝐹‘(1 − 𝑥)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
59 fvex 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) ∈ V
6058, 7, 59fvmpt 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 𝑧) ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))))
62 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
63 unitssre 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0[,]1) ⊆ ℝ
6463sseli 3705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℝ)
6564recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (0[,]1) → 𝑧 ∈ ℂ)
66 nncan 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6762, 65, 66sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (1 − (1 − 𝑧)) = 𝑧)
6867fveq2d 6308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐹‘(1 − (1 − 𝑧))) = (𝐹𝑧))
6961, 68eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (0[,]1) → (𝐼‘(1 − 𝑧)) = (𝐹𝑧))
7069mpteq2ia 4848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑧))
7155, 70syl6eqr 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))
7271oveq1d 6780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼)))
7372eceq1d 7901 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽) = [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽))
7473opeq2d 4516 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩)
7574mpteq2dv 4853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7675rneqd 5460 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [(𝐹(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
778, 76syl5eq 2770 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
7877cnveqd 5405 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
793a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
8079unieqd 4554 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝐵 = (Base‘𝑃))
8171oveq2d 6781 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑔(*𝑝𝐽)𝐹) = (𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))
8281oveq2d 6781 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹)) = (𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧))))))
8382eceq1d 7901 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽) = [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽))
8483opeq2d 4516 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩ = ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩)
8580, 84mpteq12dv 4841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8685rneqd 5460 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑔 𝐵 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)𝐹))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
874, 86syl5eq 2770 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = ran (𝑔 (Base‘𝑃) ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐼(*𝑝𝐽)(𝑔(*𝑝𝐽)(𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))))]( ≃ph𝐽)⟩))
8850, 78, 873sstr4d 3754 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐺)
89 cnvss 5402 . . . . 5 (𝐻𝐺𝐻𝐺)
9088, 89syl 17 . . . 4 (𝜑𝐻𝐺)
9119, 90eqsstr3d 3746 . . 3 (𝜑𝐻𝐺)
929, 91eqssd 3726 . 2 (𝜑𝐺 = 𝐻)
9392, 77eqtrd 2758 . . 3 (𝜑𝐺 = ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩))
9429, 40, 41, 42, 5, 45, 48pi1xfr 22976 . . 3 (𝜑 → ran ( (Base‘𝑄) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐼‘(1 − 𝑧)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝐼))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9593, 94eqeltrd 2803 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃))
9692, 95jca 555 1 (𝜑 → (𝐺 = 𝐻𝐺 ∈ (𝑄 GrpHom 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680  cop 4291   cuni 4544  cmpt 4837   × cxp 5216  ccnv 5217  ran crn 5219  Rel wrel 5223  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  [cec 7860  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050  cmin 10379  [,]cicc 12292  Basecbs 15980   GrpHom cghm 17779  TopOnctopon 20838   Cn ccn 21151  IIcii 22800  phcphtpc 22890  *𝑝cpco 22921   π1 cpi1 22924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-ec 7864  df-qs 7868  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-qus 16292  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-grp 17547  df-mulg 17663  df-ghm 17780  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-ii 22802  df-htpy 22891  df-phtpy 22892  df-phtpc 22913  df-pco 22926  df-om1 22927  df-pi1 22929
This theorem is referenced by:  pi1xfrgim  22979
  Copyright terms: Public domain W3C validator