MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pi1coval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pi1coval 23052
Description: The value of the loop transfer function on the equivalence class of a path. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pi1co.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pi1co.q 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
pi1co.v 𝑉 = (Base‘𝑃)
pi1co.g 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
pi1co.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
pi1co.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
pi1co.a (𝜑𝐴𝑋)
pi1co.b (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
pi1coval ((𝜑𝑇 𝑉) → (𝐺‘[𝑇]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑇)]( ≃ph𝐾))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔   𝑔,𝐹   𝑔,𝐽   𝜑,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑇,𝑔   𝑄,𝑔   𝑔,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔)   𝐺(𝑔)   𝑋(𝑔)

Proof of Theorem pi1coval
StepHypRef Expression
1 pi1co.g . 2 𝐺 = ran (𝑔 𝑉 ↦ ⟨[𝑔]( ≃ph𝐽), [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾)⟩)
2 fvex 6354 . . 3 ( ≃ph𝐽) ∈ V
3 ecexg 7907 . . 3 (( ≃ph𝐽) ∈ V → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
42, 3mp1i 13 . 2 ((𝜑𝑔 𝑉) → [𝑔]( ≃ph𝐽) ∈ V)
5 fvex 6354 . . 3 ( ≃ph𝐾) ∈ V
6 ecexg 7907 . . 3 (( ≃ph𝐾) ∈ V → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ V)
75, 6mp1i 13 . 2 ((𝜑𝑔 𝑉) → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) ∈ V)
8 eceq1 7941 . 2 (𝑔 = 𝑇 → [𝑔]( ≃ph𝐽) = [𝑇]( ≃ph𝐽))
9 coeq2 5428 . . 3 (𝑔 = 𝑇 → (𝐹𝑔) = (𝐹𝑇))
109eceq1d 7942 . 2 (𝑔 = 𝑇 → [(𝐹𝑔)]( ≃ph𝐾) = [(𝐹𝑇)]( ≃ph𝐾))
11 pi1co.p . . . 4 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
12 pi1co.q . . . 4 𝑄 = (𝐾 π1 𝐵)
13 pi1co.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑃)
14 pi1co.j . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
15 pi1co.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
16 pi1co.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
17 pi1co.b . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐵)
1811, 12, 13, 1, 14, 15, 16, 17pi1cof 23051 . . 3 (𝜑𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄))
19 ffun 6201 . . 3 (𝐺:𝑉⟶(Base‘𝑄) → Fun 𝐺)
2018, 19syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐺)
211, 4, 7, 8, 10, 20fliftval 6721 1 ((𝜑𝑇 𝑉) → (𝐺‘[𝑇]( ≃ph𝐽)) = [(𝐹𝑇)]( ≃ph𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332  cop 4319   cuni 4580  cmpt 4873  ran crn 5259  ccom 5262  Fun wfun 6035  wf 6037  cfv 6041  (class class class)co 6805  [cec 7901  Basecbs 16051  TopOnctopon 20909   Cn ccn 21222  phcphtpc 22961   π1 cpi1 22995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-qus 16363  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-ii 22873  df-htpy 22962  df-phtpy 22963  df-phtpc 22984  df-om1 22998  df-pi1 23000
This theorem is referenced by:  pi1coghm  23053
  Copyright terms: Public domain W3C validator