Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpycom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpycom 23007
 Description: Given a homotopy from 𝐹 to 𝐺, produce a homotopy from 𝐺 to 𝐹. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isphtpy.2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
phtpycom.6 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
phtpycom.7 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
Assertion
Ref Expression
phtpycom (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐻   𝑥,𝐽,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem phtpycom
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isphtpy.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
2 isphtpy.2 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
3 iitopon 22902 . . . 4 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5 phtpycom.6 . . 3 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐻(1 − 𝑦)))
62, 1phtpyhtpy 23001 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
7 phtpycom.7 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
86, 7sseldd 3753 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
94, 2, 1, 5, 8htpycom 22995 . 2 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(II Htpy 𝐽)𝐹))
10 0elunit 12497 . . . 4 0 ∈ (0[,]1)
11 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
12 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑦)))
13 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑡 → (1 − 𝑦) = (1 − 𝑡))
1413oveq2d 6809 . . . . 5 (𝑦 = 𝑡 → (0𝐻(1 − 𝑦)) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
15 ovex 6823 . . . . 5 (0𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
1612, 14, 5, 15ovmpt2 6943 . . . 4 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
1710, 11, 16sylancr 575 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (0𝐻(1 − 𝑡)))
18 iirev 22948 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1))
192, 1, 7phtpyi 23003 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (1 − 𝑡) ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
2018, 19sylan2 580 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0) ∧ (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1)))
2120simpld 482 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘0))
222, 1, 7phtpy01 23004 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
2322adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
2423simpld 482 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘0) = (𝐺‘0))
2517, 21, 243eqtrd 2809 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (0𝐾𝑡) = (𝐺‘0))
26 1elunit 12498 . . . 4 1 ∈ (0[,]1)
27 oveq1 6800 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑥𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑦)))
2813oveq2d 6809 . . . . 5 (𝑦 = 𝑡 → (1𝐻(1 − 𝑦)) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
29 ovex 6823 . . . . 5 (1𝐻(1 − 𝑡)) ∈ V
3027, 28, 5, 29ovmpt2 6943 . . . 4 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
3126, 11, 30sylancr 575 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (1𝐻(1 − 𝑡)))
3220simprd 483 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻(1 − 𝑡)) = (𝐹‘1))
3323simprd 483 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
3431, 32, 333eqtrd 2809 . 2 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1𝐾𝑡) = (𝐺‘1))
351, 2, 9, 25, 34isphtpyd 23005 1 (𝜑𝐾 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  0cc0 10138  1c1 10139   − cmin 10468  [,]cicc 12383  TopOnctopon 20935   Cn ccn 21249  IIcii 22898   Htpy chtpy 22986  PHtpycphtpy 22987 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-ii 22900  df-htpy 22989  df-phtpy 22990 This theorem is referenced by:  phtpcer  23014
 Copyright terms: Public domain W3C validator