Theorem php4 8188

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 8185: a natural number is strictly dominated by its successor. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php4	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Proof of Theorem php4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucidg 5841	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2		nnord 7115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
3		ordsuc 7056	. . . . . 6 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
4	3	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐴 → Ord suc 𝐴)
5	4	ancli 573	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐴 → (Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴))
6		ordelpss 5789	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐴 ∧ Ord suc 𝐴) → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
7	2, 5, 6	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝐴 ↔ 𝐴 ⊊ suc 𝐴))
8	1, 7	mpbid 222	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊊ suc 𝐴)
9		peano2b 7123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
10		php2 8186	. . 3 ⊢ ((suc 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
11	9, 10	sylanb 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ⊊ suc 𝐴) → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
12	8, 11	mpdan 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ⊊ wpss 3608   class class class wbr 4685  Ord word 5760  suc csuc 5763  ωcom 7107   ≺ csdm 7996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000

This theorem is referenced by:  php5  8189  sucdom  8198  1sdom2  8200