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Theorem php 8297
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to a proper subset of itself. Theorem (Pigeonhole Principle) of [Enderton] p. 134. The theorem is so-called because you can't put n + 1 pigeons into n holes (if each hole holds only one pigeon). The proof consists of lemmas phplem1 8292 through phplem4 8295, nneneq 8296, and this final piece of the proof. (Contributed by NM, 29-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
php ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem php
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4103 . . . . . . . 8 ∅ ⊆ 𝐵
2 sspsstr 3842 . . . . . . . 8 ((∅ ⊆ 𝐵𝐵𝐴) → ∅ ⊊ 𝐴)
31, 2mpan 708 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → ∅ ⊊ 𝐴)
4 0pss 4144 . . . . . . . 8 (∅ ⊊ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
5 df-ne 2921 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
64, 5bitri 264 . . . . . . 7 (∅ ⊊ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = ∅)
73, 6sylib 208 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴 = ∅)
8 nn0suc 7243 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥))
98orcanai 990 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
107, 9sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥)
11 pssnel 4171 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
12 pssss 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ⊊ suc 𝑥𝐵 ⊆ suc 𝑥)
13 ssdif 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ⊆ suc 𝑥 → (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
14 disjsn 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ ¬ 𝑦𝐵)
15 disj3 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∩ {𝑦}) = ∅ ↔ 𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
1614, 15bitr3i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦𝐵𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}))
17 sseq1 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = (𝐵 ∖ {𝑦}) → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ↔ (𝐵 ∖ {𝑦}) ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
1913, 18syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊆ suc 𝑥𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
20 vex 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
2120sucex 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 suc 𝑥 ∈ V
22 difss 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ⊆ suc 𝑥
2321, 22ssexi 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ V
24 ssdomg 8155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∈ V → (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ⊆ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
2612, 19, 25syl56 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦})))
2726imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 𝑦𝐵𝐵 ⊊ suc 𝑥) → 𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
28 vex 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑦 ∈ V
2920, 28phplem3 8294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → 𝑥 ≈ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}))
3029ensymd 8160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥) → (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥)
31 domentr 8168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ≼ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ∧ (suc 𝑥 ∖ {𝑦}) ≈ 𝑥) → 𝐵𝑥)
3227, 30, 31syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 𝑦𝐵𝐵 ⊊ suc 𝑥) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ suc 𝑥)) → 𝐵𝑥)
3332exp43 641 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → (𝑦 ∈ suc 𝑥𝐵𝑥))))
3433com4r 94 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ suc 𝑥 → (¬ 𝑦𝐵 → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥))))
3534imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥)))
3635exlimiv 1995 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝑦 ∈ suc 𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥)))
3711, 36mpcom 38 . . . . . . . . 9 (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → 𝐵𝑥))
38 endomtr 8167 . . . . . . . . . . . 12 ((suc 𝑥𝐵𝐵𝑥) → suc 𝑥𝑥)
39 sssucid 5951 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ⊆ suc 𝑥
40 ssdomg 8155 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑥 ∈ V → (𝑥 ⊆ suc 𝑥𝑥 ≼ suc 𝑥))
4121, 39, 40mp2 9 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ≼ suc 𝑥
42 sbth 8233 . . . . . . . . . . . 12 ((suc 𝑥𝑥𝑥 ≼ suc 𝑥) → suc 𝑥𝑥)
4338, 41, 42sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((suc 𝑥𝐵𝐵𝑥) → suc 𝑥𝑥)
4443expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑥 → (suc 𝑥𝐵 → suc 𝑥𝑥))
45 peano2b 7234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ω ↔ suc 𝑥 ∈ ω)
46 nnord 7226 . . . . . . . . . . . . 13 (suc 𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
4745, 46sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ω → Ord suc 𝑥)
4820sucid 5953 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ suc 𝑥
49 nordeq 5891 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord suc 𝑥𝑥 ∈ suc 𝑥) → suc 𝑥𝑥)
5047, 48, 49sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥𝑥)
51 nneneq 8296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((suc 𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
5245, 51sylanb 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
5352anidms 680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ω → (suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥 = 𝑥))
5453necon3bbid 2957 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ω → (¬ suc 𝑥𝑥 ↔ suc 𝑥𝑥))
5550, 54mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥𝑥)
5644, 55nsyli 155 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥𝐵))
5737, 56syli 39 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → (𝑥 ∈ ω → ¬ suc 𝑥𝐵))
5857com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥𝐵))
59 psseq2 3825 . . . . . . . 8 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵𝐴𝐵 ⊊ suc 𝑥))
60 breq1 4795 . . . . . . . . 9 (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝑥𝐵))
6160notbid 307 . . . . . . . 8 (𝐴 = suc 𝑥 → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ¬ suc 𝑥𝐵))
6259, 61imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝐴 = suc 𝑥 → ((𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ⊊ suc 𝑥 → ¬ suc 𝑥𝐵)))
6358, 62syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)))
6463rexlimiv 3153 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
6510, 64syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
6665ex 449 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵)))
6766pm2.43d 53 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴 → ¬ 𝐴𝐵))
6867imp 444 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wex 1841  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039  Vcvv 3328  cdif 3700  cin 3702  wss 3703  wpss 3704  c0 4046  {csn 4309   class class class wbr 4792  Ord word 5871  suc csuc 5874  ωcom 7218  cen 8106  cdom 8107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-om 7219  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111
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