MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phoeqi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phoeqi 27697
Description: A condition implying that two operators are equal. (Contributed by NM, 25-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eqi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip2eqi.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip2eqi.u 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Assertion
Ref Expression
phoeqi ((𝑆:𝑌𝑋𝑇:𝑌𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑦,𝑆   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑦)   𝑈(𝑦)

Proof of Theorem phoeqi
StepHypRef Expression
1 ralcom 3096 . 2 (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌𝑥𝑋 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)))
2 ffvelrn 6355 . . . . . 6 ((𝑆:𝑌𝑋𝑦𝑌) → (𝑆𝑦) ∈ 𝑋)
3 ffvelrn 6355 . . . . . 6 ((𝑇:𝑌𝑋𝑦𝑌) → (𝑇𝑦) ∈ 𝑋)
4 ip2eqi.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 ip2eqi.7 . . . . . . 7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
6 ip2eqi.u . . . . . . 7 𝑈 ∈ CPreHilOLD
74, 5, 6ip2eqi 27696 . . . . . 6 (((𝑆𝑦) ∈ 𝑋 ∧ (𝑇𝑦) ∈ 𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
82, 3, 7syl2an 494 . . . . 5 (((𝑆:𝑌𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑇:𝑌𝑋𝑦𝑌)) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
98anandirs 874 . . . 4 (((𝑆:𝑌𝑋𝑇:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝑌) → (∀𝑥𝑋 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
109ralbidva 2984 . . 3 ((𝑆:𝑌𝑋𝑇:𝑌𝑋) → (∀𝑦𝑌𝑥𝑋 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
11 ffn 6043 . . . 4 (𝑆:𝑌𝑋𝑆 Fn 𝑌)
12 ffn 6043 . . . 4 (𝑇:𝑌𝑋𝑇 Fn 𝑌)
13 eqfnfv 6309 . . . 4 ((𝑆 Fn 𝑌𝑇 Fn 𝑌) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
1411, 12, 13syl2an 494 . . 3 ((𝑆:𝑌𝑋𝑇:𝑌𝑋) → (𝑆 = 𝑇 ↔ ∀𝑦𝑌 (𝑆𝑦) = (𝑇𝑦)))
1510, 14bitr4d 271 . 2 ((𝑆:𝑌𝑋𝑇:𝑌𝑋) → (∀𝑦𝑌𝑥𝑋 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
161, 15syl5bb 272 1 ((𝑆:𝑌𝑋𝑇:𝑌𝑋) → (∀𝑥𝑋𝑦𝑌 (𝑥𝑃(𝑆𝑦)) = (𝑥𝑃(𝑇𝑦)) ↔ 𝑆 = 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911   Fn wfn 5881  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  BaseSetcba 27425  ·𝑖OLDcdip 27539  CPreHilOLDccphlo 27651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-of 6894  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-fsupp 8273  df-fi 8314  df-sup 8345  df-inf 8346  df-oi 8412  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-9 11083  df-n0 11290  df-z 11375  df-dec 11491  df-uz 11685  df-q 11786  df-rp 11830  df-xneg 11943  df-xadd 11944  df-xmul 11945  df-ioo 12176  df-icc 12179  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-seq 12797  df-exp 12856  df-hash 13113  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-sum 14411  df-struct 15853  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-mulr 15949  df-starv 15950  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-tset 15954  df-ple 15955  df-ds 15958  df-unif 15959  df-hom 15960  df-cco 15961  df-rest 16077  df-topn 16078  df-0g 16096  df-gsum 16097  df-topgen 16098  df-pt 16099  df-prds 16102  df-xrs 16156  df-qtop 16161  df-imas 16162  df-xps 16164  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-mulg 17535  df-cntz 17744  df-cmn 18189  df-psmet 19732  df-xmet 19733  df-met 19734  df-bl 19735  df-mopn 19736  df-cnfld 19741  df-top 20693  df-topon 20710  df-topsp 20731  df-bases 20744  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819  df-cn 21025  df-cnp 21026  df-t1 21112  df-haus 21113  df-tx 21359  df-hmeo 21552  df-xms 22119  df-ms 22120  df-tms 22121  df-grpo 27331  df-gid 27332  df-ginv 27333  df-gdiv 27334  df-ablo 27383  df-vc 27398  df-nv 27431  df-va 27434  df-ba 27435  df-sm 27436  df-0v 27437  df-vs 27438  df-nmcv 27439  df-ims 27440  df-dip 27540  df-ph 27652
This theorem is referenced by:  ajmoi  27698
  Copyright terms: Public domain W3C validator