Theorem pgpfi 18220

Description: The converse to pgpfi1 18210. A finite group is a 𝑃-group iff it has size some power of 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pgpfi.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pgpfi	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋

Proof of Theorem pgpfi

Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgpfi.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
3	1, 2	ispgp 18207	. . 3 ⊢ (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)))
4		simprl 811	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℙ)
5	1	grpbn0 17652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
6	5	ad2antrr 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ≠ ∅)
7		hashnncl 13349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	7	ad2antlr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
9	6, 8	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
10	4, 9	pccld 15757	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 11544	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
12	11	leidd 10786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
13	10	nn0zd 11672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
14		pcid 15779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
15	4, 13, 14	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
16	12, 15	breqtrrd 4832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
17	16	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
18		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → 𝑝 = 𝑃)
19	18	oveq1d 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
20	18	oveq1d 6828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) = (𝑃 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
21	17, 19, 20	3brtr4d 4836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
22		simp-4l 825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simplr 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑋 ∈ Fin)
24	23	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
25		simplr 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∈ ℙ)
26		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
27	1, 2	odcau 18219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
28	22, 24, 25, 26, 27	syl31anc 1480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ 𝑋 ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
29	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℙ)
30		prmz 15591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
31		iddvds 15197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∥ 𝑝)
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ 𝑝)
33		simprr 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)
34	32, 33	breqtrrd 4832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ ((od‘𝐺)‘𝑔))
35		simplrr 820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))
36		fveq2 6352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → ((od‘𝐺)‘𝑥) = ((od‘𝐺)‘𝑔))
37	36	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
38	37	rexbidv 3190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑔 → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚)))
39	38	rspccva 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
40	35, 39	sylan 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
41	40	ad2ant2r 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚))
42	4	ad3antrrr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑃 ∈ ℙ)
43		prmnn 15590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
44	29, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℕ)
45	33, 44	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ)
46		pcprmpw 15789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) ∈ ℕ) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
47	42, 45, 46	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑𝑚) ↔ ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)))))
48	41, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → ((od‘𝐺)‘𝑔) = (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
49	34, 48	breqtrd 4830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))))
50	42, 45	pccld 15757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0)
51		prmdvdsexpr 15631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔)) ∈ ℕ0) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
52	29, 42, 50, 51	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → (𝑝 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt ((od‘𝐺)‘𝑔))) → 𝑝 = 𝑃))
53	49, 52	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) ∧ (𝑔 ∈ 𝑋 ∧ ((od‘𝐺)‘𝑔) = 𝑝)) → 𝑝 = 𝑃)
54	28, 53	rexlimddv 3173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)) → 𝑝 = 𝑃)
55	54	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (♯‘𝑋) → 𝑝 = 𝑃))
56	55	necon3ad 2945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ≠ 𝑃 → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
57	56	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋))
58		simplr 809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 𝑝 ∈ ℙ)
59	9	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
60		pceq0 15777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
61	58, 59, 60	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → ((𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0 ↔ ¬ 𝑝 ∥ (♯‘𝑋)))
62	57, 61	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) = 0)
63		prmnn 15590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
64	63	ad2antrl 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → 𝑃 ∈ ℕ)
65	64, 10	nnexpcld 13224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
66	65	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℕ)
67	58, 66	pccld 15757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) ∈ ℕ0)
68	67	nn0ge0d 11546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
69	62, 68	eqbrtrd 4826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ≠ 𝑃) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
70	21, 69	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
71	70	ralrimiva 3104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
72		hashcl 13339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
73	72	ad2antlr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
74	73	nn0zd 11672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
75	65	nnzd 11673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ)
76		pc2dvds 15785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝑋) ∈ ℤ ∧ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
77	74, 75, 76	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (♯‘𝑋)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
78	71, 77	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
79		oveq2 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
80	79	breq2d 4816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) → ((♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
81	80	rspcev 3449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
82	10, 78, 81	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛))
83		pcprmpw2 15788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
84		pcprmpw 15789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) ↔ (♯‘𝑋) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
85	83, 84	bitr4d 271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
86	4, 9, 85	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) ∥ (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
87	82, 86	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))
88	4, 87	jca 555	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
89	88	3adantr2 1176	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)))
90	89	ex 449	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐺 ∈ Grp ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((od‘𝐺)‘𝑥) = (𝑃↑𝑚)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
91	3, 90	syl5bi 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 → (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))
92	1	pgpfi1 18210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
93	92	3expia 1115	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺)))
94	93	rexlimdv 3168	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛) → 𝑃 pGrp 𝐺))
95	94	expimpd 630	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
96	95	adantr 472	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛)) → 𝑃 pGrp 𝐺))
97	91, 96	impbid 202	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑃 pGrp 𝐺 ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (♯‘𝑋) = (𝑃↑𝑛))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  0cc0 10128   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ₀cn0 11484  ℤcz 11569  ↑cexp 13054  ♯chash 13311   ∥ cdvds 15182  ℙcprime 15587   pCnt cpc 15743  Basecbs 16059  Grpcgrp 17623  odcod 18144   pGrp cpgp 18146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923  df-od 18148  df-pgp 18150

This theorem is referenced by:  pgpfi2  18221  sylow2alem2  18233  slwhash  18239  fislw  18240