MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem2 18681
Description: Lemma for pgpfac 18683. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
2 pgpfac.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 pgpfac.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
43subsubg 17818 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈)))
61, 5mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
76simprd 482 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
8 pgpfac.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
9 pgpfac.b . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = (Base‘𝐺)
109subgss 17796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝐵)
12 ssfi 8345 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑈𝐵) → 𝑈 ∈ Fin)
138, 11, 12syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
14 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊𝑈) → 𝑊 ∈ Fin)
1513, 7, 14syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
16 hashcl 13339 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11544 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
19 pgpfac.0 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g𝐻)
20 fvex 6362 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐻) ∈ V
2119, 20eqeltri 2835 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
22 hashsng 13351 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ V → (♯‘{ 0 }) = 1)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (♯‘{ 0 }) = 1
24 subgrcl 17800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝐻 ∈ Grp)
25 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2625subgacs 17830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
27 acsmre 16514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
281, 24, 26, 274syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
29 pgpfac.k . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
3028, 29mrcssvd 16485 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐻))
313subgbas 17799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
322, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
3330, 32sseqtr4d 3783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
34 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
3513, 33, 34syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin)
36 pgpfac.x . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋𝑈)
3736, 32eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
3829mrcsncl 16474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
3928, 37, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
4019subg0cl 17803 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑0 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
4241snssd 4485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
4337snssd 4485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐻))
4428, 29, 43mrcssidd 16487 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
45 snssg 4459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋𝑈 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4636, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
4744, 46mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
48 pgpfac.oe . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
49 pgpfac.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 ≠ 1)
5048, 49eqnetrd 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑂𝑋) ≠ 1)
51 pgpfac.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (od‘𝐻)
5251, 19od1 18176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ Grp → (𝑂0 ) = 1)
531, 24, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂0 ) = 1)
54 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
5554fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = (𝑂0 ))
5655eqeq1d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ { 0 } → ((𝑂𝑋) = 1 ↔ (𝑂0 ) = 1))
5753, 56syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 ∈ { 0 } → (𝑂𝑋) = 1))
5857necon3ad 2945 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑂𝑋) ≠ 1 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 }))
5950, 58mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ { 0 })
6042, 47, 59ssnelpssd 3861 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋}))
61 php3 8311 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin ∧ { 0 } ⊊ (𝐾‘{𝑋})) → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
6235, 60, 61syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋}))
63 snfi 8203 . . . . . . . . . . . 12 { 0 } ∈ Fin
64 hashsdom 13362 . . . . . . . . . . . 12 (({ 0 } ∈ Fin ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin) → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6563, 35, 64sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ { 0 } ≺ (𝐾‘{𝑋})))
6662, 65mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘{ 0 }) < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
6723, 66syl5eqbrr 4840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})))
68 1red 10247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
69 hashcl 13339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ Fin → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
7035, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℕ0)
7170nn0red 11544 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ)
7219subg0cl 17803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 0𝑊)
73 ne0i 4064 . . . . . . . . . . . . 13 ( 0𝑊𝑊 ≠ ∅)
741, 72, 733syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
75 hashnncl 13349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7615, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7774, 76mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7877nngt0d 11256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (♯‘𝑊))
79 ltmul1 11065 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝑊))) → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
8068, 71, 18, 78, 79syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 < (♯‘(𝐾‘{𝑋})) ↔ (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊))))
8167, 80mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) < ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
8218recnd 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8382mulid2d 10250 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
84 pgpfac.l . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝐻)
85 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Cntz‘𝐻) = (Cntz‘𝐻)
86 pgpfac.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
87 pgpfac.g . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
883subgabl 18441 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Abel)
8987, 2, 88syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
9085, 89, 39, 1ablcntzd 18460 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ ((Cntz‘𝐻)‘𝑊))
9184, 19, 85, 39, 1, 86, 90, 35, 15lsmhash 18318 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)))
92 pgpfac.s . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
9392fveq2d 6356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘((𝐾‘{𝑋}) 𝑊)) = (♯‘𝑈))
9491, 93eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝐾‘{𝑋})) · (♯‘𝑊)) = (♯‘𝑈))
9581, 83, 943brtr3d 4835 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑊) < (♯‘𝑈))
9618, 95ltned 10365 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈))
97 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
9897necon3i 2964 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ≠ (♯‘𝑈) → 𝑊𝑈)
9996, 98syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊𝑈)
100 df-pss 3731 . . . . 5 (𝑊𝑈 ↔ (𝑊𝑈𝑊𝑈))
1017, 99, 100sylanbrc 701 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
102 psseq1 3836 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (𝑡𝑈𝑊𝑈))
103 eqeq2 2771 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡 ↔ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
104103anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑊 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ (𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
105104rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡) ↔ ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
106102, 105imbi12d 333 . . . . 5 (𝑡 = 𝑊 → ((𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)) ↔ (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))))
107 pgpfac.a . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
1086simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
109106, 107, 108rspcdva 3455 . . . 4 (𝜑 → (𝑊𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊)))
110101, 109mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊))
111 breq2 4808 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑎))
112 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑎 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑎))
113112eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊 ↔ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
114111, 113anbi12d 749 . . . 4 (𝑠 = 𝑎 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)))
115114cbvrexv 3311 . . 3 (∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑊) ↔ ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
116110, 115sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))
117 pgpfac.c . . 3 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
11887adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
119 pgpfac.p . . . 4 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
120119adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑃 pGrp 𝐺)
1218adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐵 ∈ Fin)
1222adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
123107adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
124 pgpfac.e . . 3 𝐸 = (gEx‘𝐻)
12549adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐸 ≠ 1)
12636adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑋𝑈)
12748adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝑂𝑋) = 𝐸)
1281adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
12986adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
13092adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
131 simprl 811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝑎 ∈ Word 𝐶)
132 simprrl 823 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → 𝐺dom DProd 𝑎)
133 simprrr 824 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊)
134 eqid 2760 . . 3 (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
1359, 117, 118, 120, 121, 122, 123, 3, 29, 51, 124, 19, 84, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134pgpfaclem1 18680 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑎 ∧ (𝐺 DProd 𝑎) = 𝑊))) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
136116, 135rexlimddv 3173 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715  wpss 3716  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  csdm 8120  Fincfn 8121  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   < clt 10266  cn 11212  0cn0 11484  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480  Basecbs 16059  s cress 16060  0gc0g 16302  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445  ACScacs 16447  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948  odcod 18144  gExcgex 18145   pGrp cpgp 18146  LSSumclsm 18249  Abelcabl 18394  CycGrpccyg 18479   DProd cdprd 18592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-od 18148  df-pgp 18150  df-lsm 18251  df-pj1 18252  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-cyg 18480  df-dprd 18594
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  18682
  Copyright terms: Public domain W3C validator