Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfaclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfaclem1 18526
 Description: Lemma for pgpfac 18529. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac.c 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
pgpfac.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac.f (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac.a (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (SubGrp‘𝐺)(𝑡𝑈 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑡)))
pgpfac.h 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
pgpfac.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
pgpfac.o 𝑂 = (od‘𝐻)
pgpfac.e 𝐸 = (gEx‘𝐻)
pgpfac.0 0 = (0g𝐻)
pgpfac.l = (LSSum‘𝐻)
pgpfac.1 (𝜑𝐸 ≠ 1)
pgpfac.x (𝜑𝑋𝑈)
pgpfac.oe (𝜑 → (𝑂𝑋) = 𝐸)
pgpfac.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
pgpfac.i (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
pgpfac.s (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
pgpfac.2 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
pgpfac.4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
pgpfac.5 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
pgpfac.t 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
Assertion
Ref Expression
pgpfaclem1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝐶   𝑠,𝑟,𝑡,𝐺   𝐾,𝑟,𝑠   𝜑,𝑡   𝐵,𝑠,𝑡   𝑈,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑟,𝑠   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑟)   𝐶(𝑟)   𝑃(𝑡,𝑠,𝑟)   (𝑡,𝑠,𝑟)   𝑆(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑇(𝑡,𝑟)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑡,𝑠,𝑟)   𝐾(𝑡)   𝑂(𝑡,𝑠,𝑟)   𝑊(𝑟)   𝑋(𝑡)   0 (𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem pgpfaclem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac.t . . 3 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)
2 pgpfac.2 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐶)
3 pgpfac.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 pgpfac.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝐺s 𝑈)
54subggrp 17644 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
63, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
7 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
87subgacs 17676 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)))
9 acsmre 16360 . . . . . . . 8 ((SubGrp‘𝐻) ∈ (ACS‘(Base‘𝐻)) → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
106, 8, 93syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)))
11 pgpfac.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑈)
124subgbas 17645 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 = (Base‘𝐻))
133, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐻))
1411, 13eleqtrd 2732 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
15 pgpfac.k . . . . . . . 8 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐻))
1615mrcsncl 16319 . . . . . . 7 (((SubGrp‘𝐻) ∈ (Moore‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
1710, 14, 16syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻))
184subsubg 17664 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
193, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐻) ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
2017, 19mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
2120simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
224oveq1i 6700 . . . . . . 7 (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋}))
2320simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
24 ressabs 15986 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
253, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺s 𝑈) ↾s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
2622, 25syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
277, 15cycsubgcyg2 18349 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
286, 14, 27syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
2926, 28eqeltrrd 2731 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp)
30 pgpfac.p . . . . . . 7 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
31 pgpprm 18054 . . . . . . 7 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
3230, 31syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
33 subgpgp 18058 . . . . . . 7 ((𝑃 pGrp 𝐺 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3430, 21, 33syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
35 brelrng 5387 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ CycGrp ∧ 𝑃 pGrp (𝐺s (𝐾‘{𝑋}))) → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3632, 29, 34, 35syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ ran pGrp )
3729, 36elind 3831 . . . 4 (𝜑 → (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ))
38 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → (𝐺s 𝑟) = (𝐺s (𝐾‘{𝑋})))
3938eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑟 = (𝐾‘{𝑋}) → ((𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp ) ↔ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
40 pgpfac.c . . . . 5 𝐶 = {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )}
4139, 40elrab2 3399 . . . 4 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶 ↔ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺s (𝐾‘{𝑋})) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )))
4221, 37, 41sylanbrc 699 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶)
431, 2, 42cats1cld 13646 . 2 (𝜑𝑇 ∈ Word 𝐶)
44 wrdf 13342 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐶𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶)
4543, 44syl 17 . . . 4 (𝜑𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶)
46 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑟 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ (𝐺s 𝑟) ∈ (CycGrp ∩ ran pGrp )} ⊆ (SubGrp‘𝐺)
4740, 46eqsstri 3668 . . . 4 𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)
48 fss 6094 . . . 4 ((𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶𝐶 ⊆ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
4945, 47, 48sylancl 695 . . 3 (𝜑𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶(SubGrp‘𝐺))
50 fzodisj 12541 . . . 4 ((0..^(#‘𝑆)) ∩ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1))) = ∅
51 lencl 13356 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐶 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
522, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11518 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
54 fzosn 12578 . . . . . 6 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1)) = {(#‘𝑆)})
5553, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1)) = {(#‘𝑆)})
5655ineq2d 3847 . . . 4 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑆)) ∩ ((#‘𝑆)..^((#‘𝑆) + 1))) = ((0..^(#‘𝑆)) ∩ {(#‘𝑆)}))
5750, 56syl5reqr 2700 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑆)) ∩ {(#‘𝑆)}) = ∅)
581fveq2i 6232 . . . . . . 7 (#‘𝑇) = (#‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))
5942s1cld 13419 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶)
60 ccatlen 13393 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶) → (#‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
612, 59, 60syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
6258, 61syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑇) = ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
63 s1len 13422 . . . . . . 7 (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = 1
6463oveq2i 6701 . . . . . 6 ((#‘𝑆) + (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) = ((#‘𝑆) + 1)
6562, 64syl6eq 2701 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑇) = ((#‘𝑆) + 1))
6665oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (0..^(#‘𝑇)) = (0..^((#‘𝑆) + 1)))
67 nn0uz 11760 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
6852, 67syl6eleq 2740 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
69 fzosplitsn 12616 . . . . 5 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((#‘𝑆) + 1)) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
7068, 69syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^((#‘𝑆) + 1)) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
7166, 70eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (0..^(#‘𝑇)) = ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
72 eqid 2651 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
73 eqid 2651 . . 3 (0g𝐺) = (0g𝐺)
74 pgpfac.4 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
75 cats1un 13521 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ 𝐶) → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
762, 42, 75syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) = (𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
771, 76syl5eq 2697 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
7877reseq1d 5427 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))) = ((𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(#‘𝑆))))
79 wrdf 13342 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐶𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐶)
80 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐶𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
812, 79, 803syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)))
82 fzonel 12522 . . . . . 6 ¬ (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑆))
83 fsnunres 6495 . . . . . 6 ((𝑆 Fn (0..^(#‘𝑆)) ∧ ¬ (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
8481, 82, 83sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 ∪ {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
8578, 84eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))) = 𝑆)
8674, 85breqtrrd 4713 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))))
87 fvex 6239 . . . . . 6 (#‘𝑆) ∈ V
88 dprdsn 18481 . . . . . 6 (((#‘𝑆) ∈ V ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
8987, 21, 88sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋})))
9089simpld 474 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
91 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐶𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
9243, 44, 913syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)))
93 ssun2 3810 . . . . . . . 8 {(#‘𝑆)} ⊆ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)})
9487snss 4348 . . . . . . . 8 ((#‘𝑆) ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}) ↔ {(#‘𝑆)} ⊆ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)}))
9593, 94mpbir 221 . . . . . . 7 (#‘𝑆) ∈ ((0..^(#‘𝑆)) ∪ {(#‘𝑆)})
9695, 71syl5eleqr 2737 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
97 fnressn 6465 . . . . . 6 ((𝑇 Fn (0..^(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) = {⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩})
9892, 96, 97syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) = {⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩})
991fveq1i 6230 . . . . . . . . 9 (𝑇‘(#‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(#‘𝑆))
10052nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
101100addid2d 10275 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 + (#‘𝑆)) = (#‘𝑆))
102101eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝑆) = (0 + (#‘𝑆)))
103102fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(#‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))))
10499, 103syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇‘(#‘𝑆)) = ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))))
105 1nn 11069 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
106105a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
10763, 106syl5eqel 2734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
108 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)) ↔ (#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩) ∈ ℕ)
109107, 108sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0..^(#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)))
110 ccatval3 13397 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐶 ∧ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩ ∈ Word 𝐶 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩))) → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
1112, 59, 109, 110syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 ++ ⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩)‘(0 + (#‘𝑆))) = (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0))
112 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (𝐾‘{𝑋}) ∈ V
113 s1fv 13427 . . . . . . . . 9 ((𝐾‘{𝑋}) ∈ V → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
114112, 113mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⟨“(𝐾‘{𝑋})”⟩‘0) = (𝐾‘{𝑋}))
115104, 111, 1143eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(#‘𝑆)) = (𝐾‘{𝑋}))
116115opeq2d 4440 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩ = ⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩)
117116sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(#‘𝑆), (𝑇‘(#‘𝑆))⟩} = {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11898, 117eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) = {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩})
11990, 118breqtrrd 4713 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))
120 pgpfac.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
121 dprdsubg 18469 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12286, 121syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
123 dprdsubg 18469 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}) → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
124119, 123syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12572, 120, 122, 124ablcntzd 18306 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))))
126 pgpfac.i . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊) = { 0 })
12785oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) = (𝐺 DProd 𝑆))
128 pgpfac.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = 𝑊)
129127, 128eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) = 𝑊)
130118oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) = (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}))
13189simprd 478 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨(#‘𝑆), (𝐾‘{𝑋})⟩}) = (𝐾‘{𝑋}))
132130, 131eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)})) = (𝐾‘{𝑋}))
133129, 132ineq12d 3848 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})))
134 incom 3838 . . . . 5 (𝑊 ∩ (𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊)
135133, 134syl6eq 2701 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = ((𝐾‘{𝑋}) ∩ 𝑊))
1364, 73subg0 17647 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) = (0g𝐻))
1373, 136syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝐺) = (0g𝐻))
138 pgpfac.0 . . . . . 6 0 = (0g𝐻)
139137, 138syl6eqr 2703 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝐺) = 0 )
140139sneqd 4222 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝐺)} = { 0 })
141126, 135, 1403eqtr4d 2695 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆)))) ∩ (𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = {(0g𝐺)})
14249, 57, 71, 72, 73, 86, 119, 125, 141dmdprdsplit2 18491 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑇)
143 eqid 2651 . . . . 5 (LSSum‘𝐺) = (LSSum‘𝐺)
14449, 57, 71, 143, 142dprdsplit 18493 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))))
145129, 132oveq12d 6708 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑇 ↾ (0..^(#‘𝑆))))(LSSum‘𝐺)(𝐺 DProd (𝑇 ↾ {(#‘𝑆)}))) = (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})))
146129, 122eqeltrrd 2731 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
147143lsmcom 18307 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
148120, 146, 21, 147syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑊(LSSum‘𝐺)(𝐾‘{𝑋})) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
149144, 145, 1483eqtrd 2689 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊))
150 pgpfac.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻))
1517subgss 17642 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐻) → 𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
152150, 151syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ⊆ (Base‘𝐻))
153152, 13sseqtr4d 3675 . . . 4 (𝜑𝑊𝑈)
154 pgpfac.l . . . . 5 = (LSSum‘𝐻)
1554, 143, 154subglsm 18132 . . . 4 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝑋}) ⊆ 𝑈𝑊𝑈) → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
1563, 23, 153, 155syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋})(LSSum‘𝐺)𝑊) = ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊))
157 pgpfac.s . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘{𝑋}) 𝑊) = 𝑈)
158149, 156, 1573eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)
159 breq2 4689 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺dom DProd 𝑠𝐺dom DProd 𝑇))
160 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑠 = 𝑇 → (𝐺 DProd 𝑠) = (𝐺 DProd 𝑇))
161160eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈 ↔ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈))
162159, 161anbi12d 747 . . 3 (𝑠 = 𝑇 → ((𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈) ↔ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)))
163162rspcev 3340 . 2 ((𝑇 ∈ Word 𝐶 ∧ (𝐺dom DProd 𝑇 ∧ (𝐺 DProd 𝑇) = 𝑈)) → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
16443, 142, 158, 163syl12anc 1364 1 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ Word 𝐶(𝐺dom DProd 𝑠 ∧ (𝐺 DProd 𝑠) = 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608  ∅c0 3948  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  ℙcprime 15432  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  0gc0g 16147  Moorecmre 16289  mrClscmrc 16290  ACScacs 16292  Grpcgrp 17469  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794  odcod 17990  gExcgex 17991   pGrp cpgp 17992  LSSumclsm 18095  Abelcabl 18240  CycGrpccyg 18325   DProd cdprd 18438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-od 17994  df-pgp 17996  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-cyg 18326  df-dprd 18440 This theorem is referenced by:  pgpfaclem2  18527
 Copyright terms: Public domain W3C validator