MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem3a 18675
Description: Lemma for pgpfac1 18679. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
pgpfac1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
pgpfac1.mg · = (.g𝐺)
pgpfac1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
pgpfac1.mw (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3a (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤, ·   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑀(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem3a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)))
21eldifbd 3728 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
3 pgpfac1.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 pgpprm 18208 . . . . . . . 8 (𝑃 pGrp 𝐺𝑃 ∈ ℙ)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 pgpfac1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 ablgrp 18398 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
9 pgpfac1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
10 pgpfac1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
11 pgpfac1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (gEx‘𝐺)
1210, 11gexcl2 18204 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ ℕ)
138, 9, 12syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
14 pceq0 15777 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
155, 13, 14syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝐸))
16 oveq2 6821 . . . . . 6 ((𝑃 pCnt 𝐸) = 0 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0))
1715, 16syl6bir 244 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0)))
1810grpbn0 17652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
198, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
20 hashnncl 13349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ Fin → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
219, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
2219, 21mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
235, 22pccld 15757 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2410, 11gexdvds3 18205 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
258, 9, 24syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∥ (♯‘𝐵))
2610pgphash 18222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 pGrp 𝐺𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
273, 9, 26syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
2825, 27breqtrd 4830 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
29 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝑃𝑘) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵))))
3029breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) → (𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))))
3130rspcev 3449 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 pCnt (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0𝐸 ∥ (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝐵)))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
3223, 28, 31syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘))
33 pcprmpw2 15788 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
345, 13, 33syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐸 ∥ (𝑃𝑘) ↔ 𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸))))
3532, 34mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)))
3635eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = 𝐸)
37 prmnn 15590 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
385, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
3938nncnd 11228 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
4039exp0d 13196 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑0) = 1)
4136, 40eqeq12d 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐸 = 1))
42 grpmnd 17630 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
438, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
4410, 11gex1 18206 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 = 1 ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
4641, 45bitrd 268 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐸)) = (𝑃↑0) ↔ 𝐵 ≈ 1𝑜))
4717, 46sylibd 229 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐵 ≈ 1𝑜))
48 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
4910subgacs 17830 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
508, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
5150acsmred 16518 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
52 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5310subgss 17796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐵)
55 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑈)
5654, 55sseldd 3745 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
57 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
5857mrcsncl 16474 . . . . . . . . . . . 12 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
5951, 56, 58syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6048, 59syl5eqel 2843 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
61 pgpfac1.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
62 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11 = (LSSum‘𝐺)
6362lsmsubg2 18462 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
646, 60, 61, 63syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐺)
6665subg0cl 17803 . . . . . . . . 9 ((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝑆 𝑊))
6764, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0 ∈ (𝑆 𝑊))
6867snssd 4485 . . . . . . 7 (𝜑 → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
6968adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1𝑜) → { 0 } ⊆ (𝑆 𝑊))
701eldifad 3727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑈)
7154, 70sseldd 3745 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝐵)
7271adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐶𝐵)
7310, 65grpidcl 17651 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 0𝐵)
748, 73syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑0𝐵)
75 en1eqsn 8355 . . . . . . . 8 (( 0𝐵𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = { 0 })
7674, 75sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐵 = { 0 })
7772, 76eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐶 ∈ { 0 })
7869, 77sseldd 3745 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≈ 1𝑜) → 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
7978ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≈ 1𝑜𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
8047, 79syld 47 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑃𝐸𝐶 ∈ (𝑆 𝑊)))
812, 80mt3d 140 . 2 (𝜑𝑃𝐸)
82 pgpfac1.oe . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
8313nncnd 11228 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8438nnne0d 11257 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ≠ 0)
8583, 39, 84divcan1d 10994 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) = 𝐸)
8682, 85eqtr4d 2797 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃))
87 nndivdvds 15191 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8813, 38, 87syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃𝐸 ↔ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ))
8981, 88mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℕ)
9089nnzd 11673 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ)
91 pgpfac1.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9290, 91zmulcld 11680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ)
9356snssd 4485 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
9451, 57, 93mrcssidd 16487 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
9594, 48syl6sseqr 3793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
96 snssg 4459 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9755, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
9895, 97mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑆)
99 pgpfac1.mg . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
10099subgmulgcl 17808 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑆) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
10160, 92, 98, 100syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑆)
102 prmz 15591 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1035, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10410, 99mulgcl 17760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵) → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
1058, 103, 71, 104syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵)
10610, 99mulgcl 17760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵) → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
1078, 91, 56, 106syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)
108 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10910, 99, 108mulgdi 18432 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑃 · 𝐶) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
1106, 90, 105, 107, 109syl13anc 1479 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
11185oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = (𝐸 · 𝐶))
11210, 99mulgass 17780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐶𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
1138, 90, 103, 71, 112syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) · 𝐶) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11410, 11, 99, 65gexid 18196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝐵 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
11571, 114syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐸 · 𝐶) = 0 )
116111, 113, 1153eqtr3rd 2803 . . . . . . . . . . 11 (𝜑0 = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶)))
11710, 99mulgass 17780 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
1188, 90, 91, 56, 117syl13anc 1479 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = ((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴)))
119116, 118oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · (𝑃 · 𝐶))(+g𝐺)((𝐸 / 𝑃) · (𝑀 · 𝐴))))
12010subgss 17796 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
12160, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆𝐵)
122121, 101sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵)
12310, 108, 65grplid 17653 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
1248, 122, 123syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( 0 (+g𝐺)(((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴)) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
125110, 119, 1243eqtr2d 2800 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) = (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴))
126 pgpfac1.mw . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊)
12799subgmulgcl 17808 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴)) ∈ 𝑊) → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
12861, 90, 126, 127syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · ((𝑃 · 𝐶)(+g𝐺)(𝑀 · 𝐴))) ∈ 𝑊)
129125, 128eqeltrrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ 𝑊)
130101, 129elind 3941 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ (𝑆𝑊))
131 pgpfac1.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
132130, 131eleqtrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 })
133 elsni 4338 . . . . . 6 ((((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) ∈ { 0 } → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
134132, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 )
135 pgpfac1.o . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
13610, 135, 99, 65oddvds 18166 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐵 ∧ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
1378, 56, 92, 136syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ (((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) · 𝐴) = 0 ))
138134, 137mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
13986, 138eqbrtrrd 4828 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀))
14089nnne0d 11257 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)
141 dvdscmulr 15212 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐸 / 𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝐸 / 𝑃) ≠ 0)) → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
142103, 91, 90, 140, 141syl112anc 1481 . . 3 (𝜑 → (((𝐸 / 𝑃) · 𝑃) ∥ ((𝐸 / 𝑃) · 𝑀) ↔ 𝑃𝑀))
143139, 142mpbid 222 . 2 (𝜑𝑃𝑀)
14481, 143jca 555 1 (𝜑 → (𝑃𝐸𝑃𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  wpss 3716  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  1𝑜c1o 7722  cen 8118  Fincfn 8121  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   / cdiv 10876  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569  cexp 13054  chash 13311  cdvds 15182  cprime 15587   pCnt cpc 15743  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445  ACScacs 16447  Mndcmnd 17495  Grpcgrp 17623  .gcmg 17741  SubGrpcsubg 17789  odcod 18144  gExcgex 18145   pGrp cpgp 18146  LSSumclsm 18249  Abelcabl 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ga 17923  df-cntz 17950  df-od 18148  df-gex 18149  df-pgp 18150  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem3  18676
  Copyright terms: Public domain W3C validator