MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgpfac1lem1 18467
Description: Lemma for pgpfac1 18473. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.s 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
pgpfac1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgpfac1.o 𝑂 = (od‘𝐺)
pgpfac1.e 𝐸 = (gEx‘𝐺)
pgpfac1.z 0 = (0g𝐺)
pgpfac1.l = (LSSum‘𝐺)
pgpfac1.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
pgpfac1.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
pgpfac1.n (𝜑𝐵 ∈ Fin)
pgpfac1.oe (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
pgpfac1.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.au (𝜑𝐴𝑈)
pgpfac1.w (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
pgpfac1.i (𝜑 → (𝑆𝑊) = { 0 })
pgpfac1.ss (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
pgpfac1.2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem1 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐴   𝑤,   𝑤,𝑃   𝑤,𝐺   𝑤,𝑈   𝑤,𝐶   𝑤,𝑆   𝑤,𝑊   𝜑,𝑤   𝑤,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑤)   𝐸(𝑤)   𝑂(𝑤)   0 (𝑤)

Proof of Theorem pgpfac1lem1
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.ss . . . 4 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
21adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈)
3 pgpfac1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
4 ablgrp 18192 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
5 pgpfac1.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
65subgacs 17623 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
7 acsmre 16307 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
83, 4, 6, 74syl 19 . . . . 5 (𝜑 → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵))
10 eldifi 3730 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)) → 𝐶𝑈)
1110adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶𝑈)
1211snssd 4338 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → {𝐶} ⊆ 𝑈)
13 pgpfac1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1413adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 pgpfac1.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1615mrcsscl 16274 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ {𝐶} ⊆ 𝑈𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈)
179, 12, 14, 16syl3anc 1325 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈)
18 pgpfac1.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐾‘{𝐴})
195subgss 17589 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈𝐵)
2013, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐵)
21 pgpfac1.au . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑈)
2220, 21sseldd 3602 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
2315mrcsncl 16266 . . . . . . . 8 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
248, 22, 23syl2anc 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2518, 24syl5eqel 2704 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
26 pgpfac1.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺))
27 pgpfac1.l . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐺)
2827lsmsubg2 18256 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
293, 25, 26, 28syl3anc 1325 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3029adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3120sselda 3601 . . . . . 6 ((𝜑𝐶𝑈) → 𝐶𝐵)
3210, 31sylan2 491 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶𝐵)
3315mrcsncl 16266 . . . . 5 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝐵) ∧ 𝐶𝐵) → (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
349, 32, 33syl2anc 693 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3527lsmlub 18072 . . . 4 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈 ∧ (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈) ↔ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈))
3630, 34, 14, 35syl3anc 1325 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (((𝑆 𝑊) ⊆ 𝑈 ∧ (𝐾‘{𝐶}) ⊆ 𝑈) ↔ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈))
372, 17, 36mpbi2and 956 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈)
3827lsmub1 18065 . . . . . 6 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑆 𝑊) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
3930, 34, 38syl2anc 693 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
4027lsmub2 18066 . . . . . . 7 (((𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
4130, 34, 40syl2anc 693 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐾‘{𝐶}) ⊆ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
4232snssd 4338 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → {𝐶} ⊆ 𝐵)
439, 15, 42mrcssidd 16279 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → {𝐶} ⊆ (𝐾‘{𝐶}))
44 snssg 4325 . . . . . . . 8 (𝐶𝐵 → (𝐶 ∈ (𝐾‘{𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐾‘{𝐶})))
4532, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝐶 ∈ (𝐾‘{𝐶}) ↔ {𝐶} ⊆ (𝐾‘{𝐶})))
4643, 45mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶 ∈ (𝐾‘{𝐶}))
4741, 46sseldd 3602 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐶 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
48 eldifn 3731 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊)) → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
4948adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝑆 𝑊))
5039, 47, 49ssnelpssd 3717 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
5127lsmub1 18065 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
5225, 26, 51syl2anc 693 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑆 𝑊))
5322snssd 4338 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝐵)
548, 15, 53mrcssidd 16279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
5554, 18syl6sseqr 3650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝐴} ⊆ 𝑆)
56 snssg 4325 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑈 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5721, 56syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑆 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑆))
5855, 57mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑆)
5952, 58sseldd 3602 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝑆 𝑊))
6059adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐴 ∈ (𝑆 𝑊))
6139, 60sseldd 3602 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))
623adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → 𝐺 ∈ Abel)
6327lsmsubg2 18256 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑆 𝑊) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐾‘{𝐶}) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6462, 30, 34, 63syl3anc 1325 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝐺))
65 pgpfac1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
6665adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤))
67 psseq1 3692 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (𝑤𝑈 ↔ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈))
68 eleq2 2689 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (𝐴𝑤𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
6967, 68anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → ((𝑤𝑈𝐴𝑤) ↔ (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))))
70 psseq2 3693 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → ((𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤 ↔ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7170notbid 308 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤 ↔ ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7269, 71imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) → (((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤) ↔ ((((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))))
7372rspcv 3303 . . . . . 6 (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑤 ∈ (SubGrp‘𝐺)((𝑤𝑈𝐴𝑤) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ 𝑤) → ((((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})))))
7464, 66, 73sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈𝐴 ∈ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))) → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7561, 74mpan2d 710 . . . 4 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈 → ¬ (𝑆 𝑊) ⊊ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶}))))
7650, 75mt2d 131 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ¬ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈)
77 npss 3715 . . 3 (¬ ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊊ 𝑈 ↔ (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈))
7876, 77sylib 208 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → (((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) ⊆ 𝑈 → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈))
7937, 78mpd 15 1 ((𝜑𝐶 ∈ (𝑈 ∖ (𝑆 𝑊))) → ((𝑆 𝑊) (𝐾‘{𝐶})) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911  cdif 3569  cin 3571  wss 3572  wpss 3573  {csn 4175   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  Fincfn 7952  Basecbs 15851  0gc0g 16094  Moorecmre 16236  mrClscmrc 16237  ACScacs 16239  Grpcgrp 17416  SubGrpcsubg 17582  odcod 17938  gExcgex 17939   pGrp cpgp 17940  LSSumclsm 18043  Abelcabl 18188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mre 16240  df-mrc 16241  df-acs 16243  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-submnd 17330  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-subg 17585  df-cntz 17744  df-lsm 18045  df-cmn 18189  df-abl 18190
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  18468  pgpfac1lem3  18470
  Copyright terms: Public domain W3C validator