Theorem pfxswrd 41938

Description: A prefix of a subword. Could replace swrd0swrd 13673. (Contributed by AV, 8-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxswrd	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem pfxswrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdcl 13630	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
2	1	3ad2ant1 1125	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3		elfznn0 12639	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
4		pfxval 41908	. . . 4 ⊢ (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩))
5	2, 3, 4	syl2an 496	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩))
6		swrd0swrd 13673	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))
7	6	imp 443	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩))
8	5, 7	eqtrd 2803	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩))
9	8	ex 448	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝐿 ∈ (0...(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) prefix 𝐿) = (𝑊 substr ⟨𝑀, (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1069   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4319  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  0cc0 10136   + caddc 10139   − cmin 10466  ℕ₀cn0 11492  ...cfz 12532  ♯chash 13324  Word cword 13490   substr csubstr 13494   prefix cpfx 41906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13325  df-word 13498  df-substr 13502  df-pfx 41907

This theorem is referenced by:  pfxpfx  41940